Mostre que em
e
são associados, mas que se
é primo com
e
então
e
não são associados.
Passo 1
O enunciado pede para trabalharmos em ℤ[i], o anel dos inteiros gaussianos, e mostrar duas coisas: primeiro que 1+i e 1−i são associados; segundo que, se p é primo com p≡1 (mod 4) e p=a²+b², então a+bi e a−bi não são associados. Vamos usar a definição de associado em ℤ[i] e o fato de que as únicas unidades (invertíveis) em ℤ[i] são ±1 e ±i.
Passo 2
Em ℤ[i], por definição, dois elementos x e y são associados quando existe uma unidade u∈{±1,±i} tal que x = u·y. Portanto precisamos identificar as unidades e ver qual u relaciona 1+i e 1−i, e depois mostrar que nenhum u consegue relacionar a+bi e a−bi.
Passo 3
Para 1+i e 1−i, calculamos o quociente
Como i é unidade em ℤ[i], concluímos que 1+i = i·(1−i), ou seja, 1+i e 1−i são associados.
Passo 4
Agora suponha, para fins de contradição, que exista u∈{±1,±i} tal que
Verificamos caso a caso:
- Se u=1, então a+bi = a−bi implica b=−b ⇒ b=0, contradizendo b≠0 em uma soma de dois quadrados não-trivial.
- Se u=−1, então a+bi = −a+bi implica a=−a ⇒ a=0, idem impossível.
- Se u=i, então i(a−bi)=b+ai e igualar a+bi dá b=a e a=b ⇒ p=2a², logo p par, contradição com p≡1 (mod 4).
- Se u=−i, então −i(a−bi)=−b−ai e igualar a+bi leva a=−b e b=−a ⇒ novamente p=2a², impossível.
Nenhum caso funciona, logo a+bi e a−bi não são associados.
Passo 5
Concluímos então que, em ℤ[i], 1+i e 1−i são associados (porque o quociente é i), mas quando p é primo com p≡1 (mod 4) e p=a²+b², os elementos a+bi e a−bi não podem diferir por nenhuma unidade.
Resposta
1+i e 1−i são associados em ℤ[i], enquanto que, para p primo com p≡1 (mod 4) e p=a²+b², os números a+bi e a−bi não são associados.