Mostre que em Z[i], 1+i e 1-i são associados, mas que se p é primo com p equiv 1 (bmod 4) e a^2+b^2=p então a+b i e a-b i não são associados.

Passo 1

O enunciado pede para trabalharmos em ℤ[i], o anel dos inteiros gaussianos, e mostrar duas coisas: primeiro que 1+i e 1−i são associados; segundo que, se p é primo com p≡1 (mod 4) e p=a²+b², então a+bi e a−bi não são associados. Vamos usar a definição de associado em ℤ[i] e o fato de que as únicas unidades (invertíveis) em ℤ[i] são ±1 e ±i.

Passo 2

Em ℤ[i], por definição, dois elementos x e y são associados quando existe uma unidade u∈{±1,±i} tal que x = u·y. Portanto precisamos identificar as unidades e ver qual u relaciona 1+i e 1−i, e depois mostrar que nenhum u consegue relacionar a+bi e a−bi.

Passo 3

Para 1+i e 1−i, calculamos o quociente
1+i1-i= (1+i)^2(1-i)(1+i)=1+2i+i^21-i^2=1+2i-11+1=2i2=i
Como i é unidade em ℤ[i], concluímos que 1+i = i·(1−i), ou seja, 1+i e 1−i são associados.

Passo 4

Agora suponha, para fins de contradição, que exista u∈{±1,±i} tal que
a+bi = u,(a−bi)
Verificamos caso a caso:
  • Se u=1, então a+bi = a−bi implica b=−b ⇒ b=0, contradizendo b≠0 em uma soma de dois quadrados não-trivial.
  • Se u=−1, então a+bi = −a+bi implica a=−a ⇒ a=0, idem impossível.
  • Se u=i, então i(a−bi)=b+ai e igualar a+bi dá b=a e a=b ⇒ p=2a², logo p par, contradição com p≡1 (mod 4).
  • Se u=−i, então −i(a−bi)=−b−ai e igualar a+bi leva a=−b e b=−a ⇒ novamente p=2a², impossível.
    Nenhum caso funciona, logo a+bi e a−bi não são associados.

Passo 5

Concluímos então que, em ℤ[i], 1+i e 1−i são associados (porque o quociente é i), mas quando p é primo com p≡1 (mod 4) e p=a²+b², os elementos a+bi e a−bi não podem diferir por nenhuma unidade.

Resposta

1+i e 1−i são associados em ℤ[i], enquanto que, para p primo com p≡1 (mod 4) e p=a²+b², os números a+bi e a−bi não são associados.

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