Um diedro mede 120^circ. A distância de um ponto interior P as suas faces e de 10 cm . Determine a distância entre os pés das perpendiculares às faces conduzidas por P.

Passo 1

O enunciado diz que temos um diedro com medida de 120° e um ponto interior P cujas distâncias às duas faces são ambas iguais a 10 cm. O conteúdo da matéria envolve noções de diédro (ângulo entre planos) e trigonometria em espaço, mais precisamente a aplicação da Lei dos Cossenos em um triângulo formado pelas projeções ortogonais de P nas faces.

Passo 2

Chamando A e B os pés das perpendiculares de P às faces, temos PA e PB perpendiculares às respectivas faces. Esses segmentos são, portanto, paralelos aos vetores normais às faces. O ângulo entre PA e PB coincide com o ângulo entre normais, que é o suplemento do ângulo diedro. Logo,
ang<= APB = 180^circ - 120^circ = 60^circ

Passo 3

No triângulo APB aplicamos a Lei dos Cossenos:
AB^2 = PA^2 + PB^2 - 2cdot PAcdot PBcdot cos(ang<= APB)

Passo 4

Substituindo PA = PB = 10 e cos 60^circ = tfrac12,
AB^2 = 10^2 + 10^2 - 2cdot10cdot10cdottfrac12 = 200 - 100 = 100,

Passo 5

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AB = raiz100 = 10 cm

Resposta

10 cm

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