Determine a medida das projeções em um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 12 cm e um dos catetos 4 cm .

Passo 1

O enunciado nos dá um triângulo retângulo em que a hipotenusa mede c = 12 cm e um dos catetos mede a = 4 cm. Pede-se as projeções dos catetos sobre a hipotenusa. Para isso usamos o Teorema de Euclides (projeção de catetos), que afirma:
p = \frac{a^2}{c} \quad\text{e}\quad q = \frac{b^2}{c},
onde p é a projeção do cateto a e q a projeção do cateto b sobre a hipotenusa c.

Passo 2

Antes de tudo, precisamos achar o outro cateto b. Pelo Teorema de Pitágoras:
b^2 = c^2 - a^2 = 12^2 - 4^2 = 144 - 16 = 128,
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b = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}\,\text{cm}.

Passo 3

Calcular a projeção p do cateto de comprimento a=4 sobre c usando
p = \frac{a^2}{c} = \frac{4^2}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}\,\text{cm}.

Passo 4

Calcular a projeção q do cateto de comprimento b=8\sqrt{2} sobre c usando
q = \frac{b^2}{c} = \frac{128}{12} = \frac{32}{3}\,\text{cm}.

Resposta

A projeção do cateto de 4 cm sobre a hipotenusa é \tfrac{4}{3} cm e a projeção do outro cateto é \tfrac{32}{3} cm.

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