A medida da altura relativa À hipotenusa de um triângulo retângulo é 12 cm e uma das projeções mede 9 cm . Calcular a medida dos catetos desse triângulo.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo retângulo em que a altura relativa à hipotenusa mede 12 cm e uma das projeções dessa altura sobre a hipotenusa mede 9 cm. Queremos determinar as medidas dos catetos. Para isso vamos usar o Teorema da Altura relativa à hipotenusa, que relaciona a altura h, as projeções p e q dos catetos sobre a hipotenusa c, e as próprias projecções com os comprimentos dos catetos.

Passo 2

Pelo Teorema da Altura em triângulo retângulo vale
h^2 = p \cdot q
e sabemos h=12 cm e p=9 cm. Logo
q = \frac{h^2}{p} = \frac{12^2}{9} = \frac{144}{9} = 16\text{ cm}.

Passo 3

A hipotenusa c é a soma das projeções:
c = p + q = 9 + 16 = 25\text{ cm}.

Passo 4

Ainda pelo Teorema da Altura, cada cateto satisfaz
a^2 = c \, p, \qquad b^2 = c \, q.
Portanto
a = \sqrt{25 \cdot 9} = 15\text{ cm}, \qquad b = \sqrt{25 \cdot 16} = 20\text{ cm}.

Resposta

Os catetos medem 15 cm e 20 cm.

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