Em um triângulo retângulo a altura relativa à hipotenusa mede 12 cm e a diferença entre as medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa é 7 cm . A hipotenusa desse triângulo mede:

Passo 1

O enunciado descreve um triângulo retângulo cujos catetos medem a e b, e a hipotenusa mede c. A altura relativa à hipotenusa vale 12\text{ cm} e a diferença entre as projeções dos catetos sobre a hipotenusa é 7\text{ cm}. Vamos usar relações de geometria de triângulos retângulos: fórmula da altura ao quadrado, projeções sobre a hipotenusa e o Teorema de Pitágoras.

Passo 2

Anotamos as fórmulas conhecidas para triângulo retângulo:
h = \frac{a\,b}{c},\quad \text{projeções: } p = \frac{b^2}{c},\quad q = \frac{a^2}{c},\quad a^2 + b^2 = c^2.çõ
Aqui h=12, e a diferença das projeções é \bigl|p - q\bigr| = 7.

Passo 3

Supondo, sem perda de generalidade, que b>a, temos
p - q = \frac{b^2}{c} - \frac{a^2}{c} = \frac{b^2 - a^2}{c} = 7,
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b^2 - a^2 = 7c.

Passo 4

Da altura h=12 aplicamos
\frac{a\,b}{c} = 12 \quad\Longrightarrow\quad a\,b = 12c.
E do Teorema de Pitágoras,
a^2 + b^2 = c^2.

Passo 5

Para eliminar a e b, definimos
S = a^2 + b^2 = c^2, \quad D = b^2 - a^2 = 7c.
Então
a^2 = \frac{S - D}{2} = \frac{c^2 - 7c}{2}, \quad b^2 = \frac{S + D}{2} = \frac{c^2 + 7c}{2}.
E
(a\,b)^2 = a^2\,b^2 = \frac{(c^2 - 7c)(c^2 + 7c)}{4} = \frac{c^4 - 49c^2}{4}.

Passo 6

Como a\,b = 12c, elevando ao quadrado:
(a\,b)^2 = 144\,c^2.
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\frac{c^4 - 49c^2}{4} = 144c^2 \quad\Longrightarrow\quad c^4 - 49c^2 = 576c^2 \quad\Longrightarrow\quad c^4 - 625c^2 = 0
c^2\,(c^2 - 625) = 0 \quad\Longrightarrow\quad c^2 = 625 \quad\Longrightarrow\quad c = 25\\ (\text{desprezamos }c=0).

Resposta

A hipotenusa mede 25\text{ cm}.

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