Determine as medidas (energia ou potência) dos seguintes sinais:
x(t)=A \operatorname{sen}(\omega t+\theta), em que t \in \mathbb{R} e A, \omega e \theta são constantes.

Passo 1

O enunciado pede as medidas (energia ou potência) de dois sinais:
  1. x_1(t)=A\sin(\omega t+\theta), definido para todo t\in\mathbb{R}.
  2. Um sinal x_2(t) de duração finita, que vale
    2 em 6\le t<10,
    4 em 10\le t<14,
    2 em 14\le t<18,
    0 fora de [6,18].
    Para decidir se cada sinal é de energia ou de potência e calcular as respectivas medidas, usamos as definições:
E = \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 \,dt
P = \lim_{T\to\infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} |x(t)|^2 \,dt

Passo 2

Analisando x_1(t)=A\sin(\omega t+\theta):
• É um sinal periódico de período T_0 = \tfrac{2\pi}{\omega}.
• Sinais periódicos têm energia infinita E_1=\infty e potência bem definida.
• A potência média é
P_1 = \frac{1}{T_0} \int_{t_0}^{t_0+T_0} A^2 \sin^2(\omega t+\theta)\,dt.
Como a média de \sin^2 num período é 1/2, resulta
P_1 = A^2\cdot\frac12 = \frac{A^2}{2}.

Passo 3

Analisando x_2(t):
• É não-periódico e de suporte compacto (duração finita), logo a potência média no infinito é zero P_2=0 e o sinal é de energia.
• A energia é
E_2 = \int_{6}^{10}2^2\,dt \;+\;\int_{10}^{14}4^2\,dt \;+\;\int_{14}^{18}2^2\,dt.
Calculemos cada termo: \int_{6}^{10}4\,dt =4\cdot4=16, \int_{10}^{14}16\,dt=16\cdot4=64, \int_{14}^{18}4\,dt =4\cdot4=16.
Somando,
E_2 = 16 + 64 + 16 = 96.

Resposta

Para x_1(t)=A\sin(\omega t+\theta): E_1 = \infty, \quad P_1 = \tfrac{A^2}{2}. Para o sinal x_2(t) do enunciado: E_2 = 96, \quad P_2 = 0.

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