Sejam os vetores \vec{u}=5 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k} e \vec{v}=-\hat{i}+5 \hat{j}-3 \hat{k}. Determine o ângulo entre os vetores.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=5\,\hat{i}+3\,\hat{j}-\hat{k} e \vec{v}=-\hat{i}+5\,\hat{j}-3\,\hat{k} e pede o ângulo entre eles. Para isso usaremos a definição de produto escalar e a relação
\cos(\theta)=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\;\|\vec{v}\|}.

Passo 2

Calculamos o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v}. Como
\vec{u}\cdot\vec{v}=(5)(-1)+(3)(5)+(-1)(-3),
segue que
\vec{u}\cdot\vec{v}=-5+15+3=13.

Passo 3

Agora obtemos as normas de \vec{u} e \vec{v}:
\|\vec{u}\|=\sqrt{5^{2}+3^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{25+9+1}=\sqrt{35},
\|\vec{v}\|=\sqrt{(-1)^{2}+5^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{1+25+9}=\sqrt{35}.

Passo 4

Substituímos na fórmula do cosseno:
\cos(\theta) =\frac{13}{\sqrt{35}\;\sqrt{35}} =\frac{13}{35}.

Passo 5

Por fim, o ângulo \theta é dado por
\theta=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{13}{35}\bigr) \approx 68,3^\circ.

Resposta

\displaystyle \theta=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{13}{35}\bigr)\approx 68,3^\circ.

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