Determine o menor ângulo que
pode fazer com o eixo
se o número quântico de momento angular é
(a)
e
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o menor ângulo que o momento angular
pode fazer com o eixo
para dois números quânticos diferentes:
e
. Vamos usar conceitos de mecânica quântica relacionados ao momento angular.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar alguns conceitos básicos sobre momento angular na mecânica quântica. O momento angular total
de uma partícula é quantizado e é descrito por dois números quânticos principais:
- Número quântico
: Indica a magnitude do momento angular total e pode assumir valores inteiros positivos (0, 1, 2, …). - Número quântico
: Indica a componente do momento angular na direção do eixo e pode variar de a em inteiros.
A magnitude do momento angular total é dada por:
E a componente na direção do eixo
é:
Passo 3
Agora, queremos encontrar o menor ângulo
que o vetor
faz com o eixo
. Podemos relacionar esse ângulo usando as fórmulas das componentes vetoriais:
Para o menor ângulo, devemos considerar o maior valor possível de
, que é
. Assim:
Passo 4
Vamos calcular
para cada caso.
(a) Quando
Substituindo
na fórmula:
Agora, calculamos o ângulo
:
(b) Quando
Substituindo
na fórmula:
Calculando o ângulo
:
Resposta
(a) O menor ângulo é aproximadamente
.
(b) O menor ângulo é aproximadamente
.