Determine o menor ângulo que L pode fazer com o eixo z se o número quântico de momento angular é
(a) ell=4 e
(b) ell=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o menor ângulo que o momento angular L pode fazer com o eixo z para dois números quânticos diferentes: ell=4 e ell=2. Vamos usar conceitos de mecânica quântica relacionados ao momento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar alguns conceitos básicos sobre momento angular na mecânica quântica. O momento angular total L de uma partícula é quantizado e é descrito por dois números quânticos principais:
  1. Número quântico ell: Indica a magnitude do momento angular total e pode assumir valores inteiros positivos (0, 1, 2, …).
  2. Número quântico mell: Indica a componente do momento angular na direção do eixo z e pode variar de -ell a +ell em inteiros.
A magnitude do momento angular total é dada por:
|L| = raizell(ell + 1) , hbar
E a componente na direção do eixo z é:
Lz = mell hbar

Passo 3

Agora, queremos encontrar o menor ângulo theta que o vetor L faz com o eixo z. Podemos relacionar esse ângulo usando as fórmulas das componentes vetoriais:
cos theta = Lz|L|
Para o menor ângulo, devemos considerar o maior valor possível de mell, que é mell = ell. Assim:
cos thetamin = ellraizell(ell + 1)

Passo 4

Vamos calcular thetamin para cada caso.

(a) Quando ell = 4

Substituindo ell = 4 na fórmula:
cos thetamin = 4raiz4 times 5 = 4raiz20 = 44,4721 approx 0,8944
Agora, calculamos o ângulo thetamin:
thetamin = arccos(0,8944) approx 26,565^circ

(b) Quando ell = 2

Substituindo ell = 2 na fórmula:
cos thetamin = 2raiz2 times 3 = 2raiz6 = 22,4495 approx 0,8165
Calculando o ângulo thetamin:
thetamin = arccos(0,8165) approx 35,264^circ

Resposta

(a) O menor ângulo é aproximadamente 26,565^circ.
(b) O menor ângulo é aproximadamente 35,264^circ.

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