Mostre que, se
é função apenas de
, ou seja,
é conservado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que, se o potencial $ V $ depende só da distância $ r $ (ou seja, $ V = V® $), então a quantidade angular $ \boldsymbol{L} $ permanece constante no tempo ($ \frac{d\boldsymbol{L}}{dt} = 0 $). Isso está relacionado com o conceito de conservação do momento angular na física clássica. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica, como força central e propriedades do momento angular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o momento angular. O momento angular $ \boldsymbol{L} $ de uma partícula é dado pelo produto vetorial da posição $ \boldsymbol{r} $ pela quantidade de movimento $ \boldsymbol{p} $:
Onde $ \boldsymbol{p} = m\boldsymbol{v} $ e $ m $ é a massa da partícula.
Passo 3
Agora, para saber como $ \boldsymbol{L} $ varia no tempo, vamos derivar $ \boldsymbol{L} $ em relação ao tempo:
Sabemos que $ \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} = \boldsymbol{v} $ e $ \frac{d\boldsymbol{p}}{dt} = \boldsymbol{F} $, onde $ \boldsymbol{F} $ é a força atuante.
Passo 4
Substituindo na equação:
Mas $ \boldsymbol{p} = m\boldsymbol{v} $, então:
Porque o produto vetorial de qualquer vetor com ele mesmo é zero.
Passo 5
Portanto, a equação simplifica para:
A próxima etapa é analisar $ \boldsymbol{F} $. Se o potencial $ V $ depende apenas de $ r $, a força associada é:
Como $ V $ depende só de $ r $, a força é radial, ou seja, está na mesma direção de $ \boldsymbol{r} $.
Passo 6
Como $ \boldsymbol{F} $ é radial, podemos escrever $ \boldsymbol{F} = F® \hat{\boldsymbol{r}} $, onde $ \hat{\boldsymbol{r}} $ é o vetor unitário na direção de $ \boldsymbol{r} $. Isso significa que $ \boldsymbol{F} $ e $ \boldsymbol{r} $ são paralelos.
Passo 7
O produto vetorial de dois vetores paralelos é zero:
Portanto:
Isso mostra que o momento angular $ \boldsymbol{L} $ não muda com o tempo.
Resposta
Concluímos que, se o potencial $ V $ depende apenas de $ r $, então o momento angular $ \boldsymbol{L} $ é conservado ($ \frac{d\boldsymbol{L}}{dt} = 0 $).