Para o estado fundamental do átomo de hidrogênio, determine
(a) o valor de psi;
(b) o valor de psi^2;
© a densidade de probabilidade radial P(r) no ponto r=a0. A resposta deve ser dada em unidades de a0.

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício sobre o estado fundamental do átomo de hidrogênio. A pergunta tem três partes:
(a) Encontrar o valor da função de onda psi;
(b) Encontrar o valor de psi^2;
© Determinar a densidade de probabilidade radial P(r) no ponto r = a0.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a função de onda do átomo de hidrogênio no estado fundamental, que é um conceito da mecânica quântica. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a expressão da função de onda psi para o estado fundamental do átomo de hidrogênio. No estado fundamental (n=1, l=0, m=0), a função de onda é dada por:
psi(r) = 1raizpi a0^3 e^-r/a0
Aqui, a0 é o raio de Bohr, uma constante que representa o tamanho típico do átomo de hidrogênio.

Passo 3

Agora, queremos encontrar o valor de psi no ponto r = a0. Vamos substituir r por a0 na expressão da função de onda:
psi(a0) = 1raizpi a0^3 e^-a0/a0 = 1raizpi a0^3 e^-1
Simplificando e^-1:
psi(a0) = e^-1raizpi a0^3

Passo 4

Agora, para a parte (b), queremos encontrar o valor de psi^2 no ponto r = a0. Isso significa simplesmente elevar ao quadrado o valor que encontramos anteriormente:
psi^2(a0) = (e^-1raizpi a0^3)^2 = e^-2pi a0^3

Passo 5

Por fim, na parte ©, precisamos calcular a densidade de probabilidade radial P(r) no ponto r = a0. A densidade de probabilidade radial é dada por:
P(r) = 4pi r^2 |psi(r)|^2
Substituindo r = a0 e |psi(a0)|^2 = psi^2(a0):
P(a0) = 4pi a0^2 cdot e^-2pi a0^3 = 4pi a0^2 cdot e^-2pi a0^3 = 4 e^-2a0

Resposta

(a) psi(a0) = dfrace^-1raizpi a0^3
(b) psi^2(a0) = dfrace^-2pi a0^3
© P(a0) = dfrac4 e^-2a0 em unidades de a0

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