Quais são os valores possíveis de
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(a) para
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(b) para
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© para
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(d) Determine os menores valores possíveis da energia para cada caso.
(a) para
(b) para
© para
(d) Determine os menores valores possíveis da energia para cada caso.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pergunta quais são os valores possíveis dos números quânticos $ n $ e $ m $ para diferentes valores de $ \ell $, além de determinar os menores valores possíveis da energia para cada caso. A gente está lidando com números quânticos na mecânica quântica, onde $ n $ é o número quântico principal, $ \ell $ é o número quântico azimutal, e $ m $ é o número quântico magnético. Para resolver, vamos lembrar das relações entre esses números e como eles determinam a energia dos elétrons.
Passo 2
Parte (a): para $ \ell = 3 $
Primeiro, sabemos que o número quântico principal $ n $ deve ser maior que $ \ell $. Então, para $ \ell = 3 $, o menor valor de $ n $ é $ 4 $. Os valores possíveis de $ m $ vão de $ -\ell $ até $ \ell $, ou seja, de $ -3 $ a $ 3 $.
- Valores de $ n $: $ n \geq 4 $
- Valores de $ m $: $ m = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 $
Passo 3
Parte (b): para $ \ell = 4 $
Seguindo a mesma lógica, o número quântico principal $ n $ tem que ser maior que $ \ell $. Então, para $ \ell = 4 $, o menor valor de $ n $ é $ 5 $. Os valores de $ m $ vão de $ -4 $ a $ 4 $.
- Valores de $ n $: $ n \geq 5 $
- Valores de $ m $: $ m = -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 $
Passo 4
Parte ©: para $ \ell = 0 $
Aqui, se $ \ell = 0 $, o menor valor de $ n $ é $ 1 $. Já que $ \ell = 0 $, o único valor possível de $ m $ é $ 0 $.
- Valores de $ n $: $ n \geq 1 $
- Valores de $ m $: $ m = 0 $
Passo 5
Parte (d): Menores valores possíveis da energia para cada caso
A energia de um elétron em um átomo depende principalmente do número quântico principal $ n $. A fórmula geral para a energia é $ E_n = -\frac{13,6 , eV}{n^2} $. O menor valor de energia ocorre quando $ n $ é o menor possível para cada $ \ell $.
-
Para $ \ell = 3 $:
- Menor $ n = 4 $
- Energia: $ E_4 = -\frac{13,6}{4^2} = -0,85 , eV $
-
Para $ \ell = 4 $:
- Menor $ n = 5 $
- Energia: $ E_5 = -\frac{13,6}{5^2} = -0,544 , eV $
-
Para $ \ell = 0 $:
- Menor $ n = 1 $
- Energia: $ E_1 = -\frac{13,6}{1^2} = -13,6 , eV $
Resposta
Finalizando:
(a) Para $ \ell = 3 $:
- $ n \geq 4 $
- $ m = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 $
(b) Para $ \ell = 4 $:
- $ n \geq 5 $
- $ m = -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 $
© Para $ \ell = 0 $:
- $ n \geq 1 $
- $ m = 0 $
(d) Menores valores de energia:
- $ \ell = 3 $: $ E = -0,85 , eV $
- $ \ell = 4 $: $ E = -0,544 , eV $
- $ \ell = 0 $: $ E = -13,6 , eV $