Exercício 7. Seja A B C um triângulo equilátero, cujos lados medem 2. Calcule
\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B C} \cdot \overrightarrow{C A}+\overrightarrow{C A} \cdot \overrightarrow{A B}

Passo 1

O enunciado dá um triângulo equilátero ABC de lado 2 e pede o valor de
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC} \;+\;\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{CA}\;+\;\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{AB}.
O conteúdo que vamos usar é a definição de produto escalar em coordenadas cartesianas: se \mathbf u=(u_1,u_2) e \mathbf v=(v_1,v_2), então
\mathbf u\cdot\mathbf v = u_1v_1 + u_2v_2.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas conveniente:
A=(0,0),\quad B=(2,0),\quad C=\bigl(1,\sqrt{3}\bigr)
(então AB=2 e BC=CA=2). Assim, os vetores são
\overrightarrow{AB} = (2,0),\quad \overrightarrow{BC} = \bigl(-1,\sqrt{3}\bigr),\quad \overrightarrow{CA} = \bigl(-1,-\sqrt{3}\bigr).

Passo 3

Agora calculamos cada produto escalar:
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC} =2\cdot(-1) + 0\cdot\sqrt{3} = -2,
\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{CA} =(-1)\cdot(-1) + \sqrt{3}\cdot(-\sqrt{3}) = 1 - 3 = -2,
\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{AB} =(-1)\cdot2 + (-\sqrt{3})\cdot0 = -2.

Passo 4

Somando esses três resultados vem
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC} +\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{CA} +\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{AB} = -2 + (-2) + (-2) = -6.

Resposta

-6

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