Resolva a equação sen^4 x+cos ^4 x=34, para x in[0,2 pi].

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação sin^4 x + cos^4 x = tfrac34 no intervalo [0,2pi]. O conteúdo aqui é identidades trigonométricas e redução de potências para transformar potências quartas em expressões mais simples.

Passo 2

Primeiro, usamos a identidade fundamental sin^2 x + cos^2 x = 1 e a fórmula de redução de potências:
sin^4 x + cos^4 x = (sin^2 x + cos^2 x)^2 - 2sin^2 xcos^2 x = 1 - 2sin^2 xcos^2 x

Passo 3

Substituindo na equação original obtemos:
1 - 2sin^2 xcos^2 x = 34
que leva a
sin^2 xcos^2 x = 18

Passo 4

Para ligar sin^2 xcos^2 x a um ângulo duplo, lembramos que sin xcos x = tfrac12sin 2x. Logo:
sin^2 xcos^2 x = l(tfrac12sin 2xr)^2 = 14sin^2 2x
Substituindo em sin^2 xcos^2 x = tfrac18
14sin^2 2x = 18 Longrightarrow sin^2 2x = 12

Passo 5

A equação sin^2 2x = tfrac12 implica sin 2x = pmtfracraiz22. As soluções gerais são
2x = pi4 + kpi2, kinZ
portanto
x = pi8 + kpi4

Passo 6

Para obter as soluções em [0,2pi], fazemos k=0,1,2,dots,7 e encontramos
x=tfracpi8,,tfrac3pi8,,tfrac5pi8,,tfrac7pi8,,tfrac9pi8,,tfrac11pi8,,tfrac13pi8,,tfrac15pi8.

Resposta

As soluções em [0,2π] são x=pi8,,3pi8,,5pi8,,7pi8,,9pi8,,11pi8,,13pi8,,15pi8.

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