Determine o menor elemento de cada um dos seguintes conjuntos: [2,8], (2,8], (3,5), (3,4), [3,7] cap [2,5], [3,7] cup [2,5].

Passo 1

Blz, o exercício tá pedindo pra gente achar o menor elemento (o mínimo) de vários intervalos e de algumas combinações (união e interseção). Isso faz parte de noções de conjuntos e intervalos em ℝ. Para resolver, vamos precisar lembrar:
  • O que é intervalo fechado e aberto ;
  • Quando um intervalo inclui seu limite (fecha) ou não (abre);
  • Como isso afeta a existência do mínimo;
  • Como calcular união e interseção de intervalos.

Passo 2

Intervalo .
Teoria rápida: num intervalo fechado , a gente inclui os extremos e . Então o menor elemento é justamente .
Aqui , logo
.

Passo 3

Intervalo .
Agora a esquerda é “(”, ou seja, não inclui o 2. Isso significa que não existe um menor elemento, pois para qualquer número ainda tem um tal que . Sempre dá pra pegar algo menor, mas nunca exatamente 2.
Logo, não existe mínimo para .

Passo 4

Intervalo .
Aqui ambos os lados são abertos: nem 3, nem 5 estão no conjunto. O mesmo raciocínio do passo anterior vale: não há o menor elemento, porque sempre dá pra achar um número entre 3 e qualquer .
Logo, não existe mínimo para .

Passo 5

Intervalo .
Mesma ideia de : aberto à esquerda, não inclui o 3, então não há menor elemento.
Logo, não existe mínimo para .

Passo 6

Interseção .
Teoria: a interseção pega só o que está em ambos.
  • vai de 3 até 7;
  • vai de 2 até 5.
    O que sobra é de até , e como os dois eram fechados em 3 e 5, o resultado é .
    Num intervalo fechado, o mínimo é o próprio extremo esquerdo:
    .

Passo 7

União .
Teoria: a união junta tudo que está em qualquer um dos dois.
  • começa em 2 e vai até 5;
  • começa em 3 (mas já estava coberto a partir de 2) e vai até 7.
    Juntando, cobrimos de 2 até 7, e como 2 está incluído em , a união é .
    Logo, o mínimo é 2:
    .

Resposta

(2,8]: não existe
(3,5): não existe
(3,4): não existe
[3,7]∩[2,5]: 3
[3,7]∪[2,5]: 2

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