Determine o menor elemento de cada um dos seguintes conjuntos:
,
,
,
,
,
.
Passo 1
Blz, o exercício tá pedindo pra gente achar o menor elemento (o mínimo) de vários intervalos e de algumas combinações (união e interseção). Isso faz parte de noções de conjuntos e intervalos em ℝ. Para resolver, vamos precisar lembrar:
- O que é intervalo fechado
e aberto ; - Quando um intervalo inclui seu limite (fecha) ou não (abre);
- Como isso afeta a existência do mínimo;
- Como calcular união e interseção de intervalos.
Passo 2
Intervalo
.
Teoria rápida: num intervalo fechado , a gente inclui os extremos
e
. Então o menor elemento é justamente
.
Aqui , logo
.
Teoria rápida: num intervalo fechado
Aqui
Passo 3
Intervalo
.
Agora a esquerda é “(”, ou seja, não inclui o 2. Isso significa que não existe um menor elemento, pois para qualquer número ainda tem um
tal que
. Sempre dá pra pegar algo menor, mas nunca exatamente 2.
Logo, não existe mínimo para .
Agora a esquerda é “(”, ou seja, não inclui o 2. Isso significa que não existe um menor elemento, pois para qualquer número
Logo, não existe mínimo para
Passo 4
Intervalo
.
Aqui ambos os lados são abertos: nem 3, nem 5 estão no conjunto. O mesmo raciocínio do passo anterior vale: não há o menor elemento, porque sempre dá pra achar um número entre 3 e qualquer .
Logo, não existe mínimo para .
Aqui ambos os lados são abertos: nem 3, nem 5 estão no conjunto. O mesmo raciocínio do passo anterior vale: não há o menor elemento, porque sempre dá pra achar um número entre 3 e qualquer
Logo, não existe mínimo para
Passo 5
Intervalo
.
Mesma ideia de : aberto à esquerda, não inclui o 3, então não há menor elemento.
Logo, não existe mínimo para .
Mesma ideia de
Logo, não existe mínimo para
Passo 6
Interseção
.
Teoria: a interseção pega só o que está em ambos.
Teoria: a interseção pega só o que está em ambos.
-
vai de 3 até 7; -
vai de 2 até 5.
O que sobra é deaté , e como os dois eram fechados em 3 e 5, o resultado é .
Num intervalo fechado, o mínimo é o próprio extremo esquerdo:
.
Passo 7
União
.
Teoria: a união junta tudo que está em qualquer um dos dois.
Teoria: a união junta tudo que está em qualquer um dos dois.
-
começa em 2 e vai até 5; -
começa em 3 (mas já estava coberto a partir de 2) e vai até 7.
Juntando, cobrimos de 2 até 7, e como 2 está incluído em, a união é .
Logo, o mínimo é 2:
.
Resposta
(2,8]: não existe
(3,5): não existe
(3,4): não existe
[3,7]∩[2,5]: 3
[3,7]∪[2,5]: 2
(3,5): não existe
(3,4): não existe
[3,7]∩[2,5]: 3
[3,7]∪[2,5]: 2