Dada a tabela de valores da função ln x:
xi 0,40 0,50 0,70 0,80
ln xi -0,916 -0,693 -0,357 -0,223
Calcule o valor preciso de ln 0,60, estime o erro cometido e compare a estimativa do erro com o erro efetivo.

Passo 1

Beleza, a questão dá uma tabelinha com valores de ln x em x=0,40,;0,50,;0,70,;0,80 e pede para:
  1. calcular o valor “exato” de ln(0,60) (ou seja, usando uma calculadora),
  2. estimar o erro de aproximar ln(0,60) por interpolação linear,
  3. comparar essa estimativa de erro com o erro real.
    O conteúdo aqui é “interpolação linear” e “erro de Lagrange” (resto da interpolação). A gente vai usar:
  • a fórmula da reta entre dois pontos,
  • a 2ª derivada de f(x)=ln x para estimar o erro.

Passo 2

Primeiro, o valor preciso de ln(0,60) (usando calculadora):
ln(0,60)approx -0,5108256,

Passo 3

Agora interpolação linear entre os pontos mais próximos, x0=0,50, y0=ln(0,50)=-0,693 e
x1=0,70, y1=ln(0,70)=-0,357.
A fórmula é
lnrm int(0,60)=y0+y1-y0x1-x0,(0,60-x0),
Substituindo:
lnrm int(0,60)=-0,693+-0,357-(-0,693)0,70-0,50,(0,60-0,50)
=-0,693+0,3360,20times0,10=-0,693+1,68times0,10=-0,525,

Passo 4

Para estimar o erro usamos o resto de Lagrange da interpolação linear:
R1(x)=f''(xi)2!(x-x0)(x-x1),xiin[x0,x1]
Aqui f(x)=ln ximplies f''(x)=-1/x^2. No intervalo [0,50,0,70] o maior |f''(x)| é em x=0,50, valendo 4.
Logo
$$|R_1(0{,}60)|\le\frac{4}{2},(0{,}60-0{,}50),(0{,}60-0{,}70)
=2\times0{,}10\times0{,}10=0{,}02,. $$

Passo 5

O erro de fato é a diferença entre o valor exato e o aproximado:
$$|\ln(0{,}60)-\ln_{\rm int}(0{,}60)|
=|{-0{,}5108256}-(-0{,}525)|\approx0{,}0141744\approx0{,}0142,. $$
Repara que |ln(0,60)-lnrm int(0,60)| =|-0,5108256-(-0,525)|approx0,0141744approx0,0142, , ou seja, o erro real está dentro da nossa estimativa.

Resposta

Valor exato: ln(0,60)approx -0,5108.
Valor por interpolação linear: approx -0,525.
Estimativa de erro: <=0,02.
Erro efetivo: approx0,0142,.

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