Dada a tabela de valores da função
:
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0,40 | 0,50 | 0,70 | 0,80 |
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Calcule o valor preciso de
, estime o erro cometido e compare a estimativa do erro com o erro efetivo.
Passo 1
Beleza, a questão dá uma tabelinha com valores de
em
e pede para:
- calcular o valor “exato” de
(ou seja, usando uma calculadora), - estimar o erro de aproximar
por interpolação linear, - comparar essa estimativa de erro com o erro real.
O conteúdo aqui é “interpolação linear” e “erro de Lagrange” (resto da interpolação). A gente vai usar:
- a fórmula da reta entre dois pontos,
- a 2ª derivada de
para estimar o erro.
Passo 2
Primeiro, o valor preciso de
(usando calculadora):
Passo 3
Agora interpolação linear entre os pontos mais próximos,
,
e
,
.
A fórmula é
A fórmula é
Substituindo:
Passo 4
Para estimar o erro usamos o resto de Lagrange da interpolação linear:
Aqui
Logo
$$|R_1(0{,}60)|\le\frac{4}{2},(0{,}60-0{,}50),(0{,}60-0{,}70)
=2\times0{,}10\times0{,}10=0{,}02,. $$
Passo 5
O erro de fato é a diferença entre o valor exato e o aproximado:
$$|\ln(0{,}60)-\ln_{\rm int}(0{,}60)|
=|{-0{,}5108256}-(-0{,}525)|\approx0{,}0141744\approx0{,}0142,. $$
Repara que , ou seja, o erro real está dentro da nossa estimativa.
Repara que
Resposta
Valor exato:
.
Valor por interpolação linear: .
Estimativa de erro: .
Erro efetivo: .
Valor por interpolação linear:
Estimativa de erro:
Erro efetivo: