O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
y''-2y'+y=\left(4x^{2}+2\right)e^{-x},
e pede encontrar a solução geral (usar o método indicado no enunciado). As informações relevantes que temos:
O lado esquerdo é uma equação linear com coeficientes constantes.
O termo não homogêneo é r(x)=(4x^{2}+2)e^{-x}.
A partir daqui vamos determinar a solução geral y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x), onde y_{h} é a solução da homogênea e y_{p} é uma particular que encontraremos por variação de parâmetros.
Passo 2
Encontrar a solução da equação homogênea associada:
Agora precisamos integrar u_{1}' e u_{2}' para obter u_{1} e u_{2}. Podemos escolher as constantes de integração iguais a zero (qualquer constante adicionada a u_{1} ou u_{2} apenas reproduz partes da solução homogênea).
Passo 5
Integração de u_{2}'(x):
u_{2}(x)=\int (4x^{2}+2)e^{-2x}\,dx.
Separando termos:
u_{2}=4\int x^{2}e^{-2x}\,dx+2\int e^{-2x}\,dx.
Usamos a primitiva conhecida \displaystyle\int x^{2}e^{ax}\,dx=e^{ax}\!\left(\frac{x^{2}}{a}-\frac{2x}{a^{2}}+\frac{2}{a^{3}}\right)+C com a=-2. Assim
Tomando a constante de integração zero, ficamos com
u_{2}(x)=-2e^{-2x}(x^{2}+x+1).
Passo 6
Integração de u_{1}'(x):
u_{1}(x)=\int -(4x^{3}+2x)e^{-2x}\,dx =-4\int x^{3}e^{-2x}\,dx-2\int x e^{-2x}\,dx.
Calculamos as primitivas separadamente.
Primeiro, \displaystyle\int x e^{-2x}\,dx. Usando integração por partes ou fórmula \int x e^{ax}\,dx=e^{ax}\left(\frac{x}{a}-\frac{1}{a^{2}}\right)+C com a=-2, obtemos
\int x e^{-2x}\,dx=e^{-2x}\left(-\tfrac{x}{2}-\tfrac{1}{4}\right)+C.
Logo
-2\int x e^{-2x}\,dx=-2\cdot e^{-2x}\left(-\tfrac{x}{2}-\tfrac{1}{4}\right)=e^{-2x}\left(x+\tfrac{1}{2}\right).
Agora \displaystyle\int x^{3}e^{-2x}\,dx. Fazendo integração por partes (ou usando fórmula geral), chega-se a