Usar o método da variação de parâmetros.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=\left(4 x^{2}+2\right) e^{-x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
y''-2y'+y=\left(4x^{2}+2\right)e^{-x},
e pede encontrar a solução geral (usar o método indicado no enunciado). As informações relevantes que temos:
  • O lado esquerdo é uma equação linear com coeficientes constantes.
  • O termo não homogêneo é r(x)=(4x^{2}+2)e^{-x}.
    A partir daqui vamos determinar a solução geral y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x), onde y_{h} é a solução da homogênea e y_{p} é uma particular que encontraremos por variação de parâmetros.

Passo 2

Encontrar a solução da equação homogênea associada:
y''-2y'+y=0.
Formamos a equação característica:
r^{2}-2r+1=0.
Resolvendo:
(r-1)^{2}=0\quad\Rightarrow\quad r=1\text{ (raiz dupla).}
Logo duas soluções fundamentais linearmente independentes são
y_{1}(x)=e^{x},\qquad y_{2}(x)=x e^{x}.
A solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}x e^{x}.

Passo 3

Montar as fórmulas da variação de parâmetros. Primeiro calculamos o Wronskiano W de y_{1},y_{2}:
W(x)=\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\\ y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} = y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}.
Calculemos explicitamente:
y_{1}=e^{x},\quad y_{1}'=e^{x},\quad y_{2}=x e^{x},\quad y_{2}'=(1+x)e^{x},
portanto
W(x)=e^{x}\cdot(1+x)e^{x}-e^{x}\cdot x e^{x}=e^{2x}.
Para a equação na forma padrão y''+p(x)y'+q(x)y=r(x) (aqui p(x)=-2,q(x)=1), as derivadas das funções variáveis u_{1}',u_{2}' são dadas por
u_{1}'(x)=-\frac{r(x)\,y_{2}(x)}{W(x)},\qquad u_{2}'(x)=\frac{r(x)\,y_{1}(x)}{W(x)}.
Vamos calcular u_{1}' e u_{2}' usando r(x)=(4x^{2}+2)e^{-x}.

Passo 4

Calcular u_{1}'(x) e u_{2}'(x) explicitamente:
u_{1}'(x)=-\frac{(4x^{2}+2)e^{-x}\cdot x e^{x}}{e^{2x}} =-\frac{x(4x^{2}+2)}{e^{2x}} =-(4x^{3}+2x)e^{-2x},
u_{2}'(x)=\frac{(4x^{2}+2)e^{-x}\cdot e^{x}}{e^{2x}} =\frac{4x^{2}+2}{e^{2x}} =(4x^{2}+2)e^{-2x}.
Agora precisamos integrar u_{1}' e u_{2}' para obter u_{1} e u_{2}. Podemos escolher as constantes de integração iguais a zero (qualquer constante adicionada a u_{1} ou u_{2} apenas reproduz partes da solução homogênea).

Passo 5

Integração de u_{2}'(x):
u_{2}(x)=\int (4x^{2}+2)e^{-2x}\,dx.
Separando termos:
u_{2}=4\int x^{2}e^{-2x}\,dx+2\int e^{-2x}\,dx.
Usamos a primitiva conhecida \displaystyle\int x^{2}e^{ax}\,dx=e^{ax}\!\left(\frac{x^{2}}{a}-\frac{2x}{a^{2}}+\frac{2}{a^{3}}\right)+C com a=-2. Assim
\int x^{2}e^{-2x}\,dx=e^{-2x}\left(-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\right)+C,
e
\int e^{-2x}\,dx=-\tfrac{1}{2}e^{-2x}+C.
Portanto
u_{2}=4\cdot e^{-2x}\left(-\tfrac{x^{2}}{2}-\tfrac{x}{2}-\tfrac{1}{4}\right)+2\cdot\left(-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\right).
Simplificando:
u_{2}=e^{-2x}\big(-2x^{2}-2x-1\big)-e^{-2x} =-2e^{-2x}(x^{2}+x+1).
Tomando a constante de integração zero, ficamos com
u_{2}(x)=-2e^{-2x}(x^{2}+x+1).

Passo 6

Integração de u_{1}'(x):
u_{1}(x)=\int -(4x^{3}+2x)e^{-2x}\,dx =-4\int x^{3}e^{-2x}\,dx-2\int x e^{-2x}\,dx.
Calculamos as primitivas separadamente.
Primeiro, \displaystyle\int x e^{-2x}\,dx. Usando integração por partes ou fórmula \int x e^{ax}\,dx=e^{ax}\left(\frac{x}{a}-\frac{1}{a^{2}}\right)+C com a=-2, obtemos
\int x e^{-2x}\,dx=e^{-2x}\left(-\tfrac{x}{2}-\tfrac{1}{4}\right)+C.
Logo
-2\int x e^{-2x}\,dx=-2\cdot e^{-2x}\left(-\tfrac{x}{2}-\tfrac{1}{4}\right)=e^{-2x}\left(x+\tfrac{1}{2}\right).
Agora \displaystyle\int x^{3}e^{-2x}\,dx. Fazendo integração por partes (ou usando fórmula geral), chega-se a
\int x^{3}e^{-2x}\,dx=e^{-2x}\left(-\tfrac{x^{3}}{2}-\tfrac{3x^{2}}{4}-\tfrac{3x}{4}-\tfrac{3}{8}\right)+C.
Então
-4\int x^{3}e^{-2x}\,dx=-4e^{-2x}\left(-\tfrac{x^{3}}{2}-\tfrac{3x^{2}}{4}-\tfrac{3x}{4}-\tfrac{3}{8}\right) =e^{-2x}\left(2x^{3}+3x^{2}+3x+\tfrac{3}{2}\right).
Somando as contribuições:
u_{1}(x)=e^{-2x}\left(2x^{3}+3x^{2}+3x+\tfrac{3}{2}\right)+e^{-2x}\left(x+\tfrac{1}{2}\right).
Simplificando termos:
u_{1}(x)=e^{-2x}\left(2x^{3}+3x^{2}+4x+2\right).
(novamente escolhemos a constante de integração zero).

Passo 7

Construir a solução particular y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}. Substituindo u_{1},u_{2},y_{1},y_{2}:
y_{p}=u_{1}(x)e^{x}+u_{2}(x)\,x e^{x}.
Calcule cada termo:
u_{1}e^{x}=e^{-2x}\left(2x^{3}+3x^{2}+4x+2\right)\!e^{x}=e^{-x}\left(2x^{3}+3x^{2}+4x+2\right),
u_{2}\,x e^{x}=-2e^{-2x}(x^{2}+x+1)\cdot x e^{x}=-2e^{-x}(x^{3}+x^{2}+x).
Somando:
y_{p}=e^{-x}\Big(2x^{3}+3x^{2}+4x+2-2x^{3}-2x^{2}-2x\Big) =e^{-x}\big(x^{2}+2x+2\big).

Passo 8

A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}x e^{x}+\big(x^{2}+2x+2\big)e^{-x},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}x e^{x}+\big(x^{2}+2x+2\big)e^{-x}

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