Encontre a forma trigonométrica do número complexo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a forma trigonométrica do número complexo $ z = \frac{(1+i)^2}{1 - i} $. Para isso, vamos trabalhar com números complexos e suas representações trigonométricas. Precisamos lembrar como elevar um número complexo a uma potência e como dividir dois números complexos, convertendo-os para a forma trigonométrica no processo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o numerador
. Para elevar um número complexo ao quadrado, usamos a fórmula:
No nosso caso, $ a = 1 $ e $ b = 1 $:
Passo 3
Agora, temos:
Para simplificar essa fração, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é
:
Vamos calcular o denominador primeiro:
Então:
Passo 4
Agora que temos $ z = -1 + i $, vamos converter isso para a forma trigonométrica. A forma trigonométrica de um número complexo é:
Onde:
- $ r $ é o módulo do número complexo, calculado por $ r = \sqrt{a^2 + b^2} $
- $ \theta $ é o argumento, dado por $ \theta = \arctan{\left(\frac{b}{a}\right)} $
Para $ z = -1 + i $:
Calculando o módulo:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o argumento $ \theta $. Como $ a = -1 $ e $ b = 1 $, o número complexo está no segundo quadrante. Portanto:
Resposta
A forma trigonométrica do número complexo $ z = \frac{(1+i)^2}{1 - i} $ é: