Encontre a forma trigonométrica do número complexo z=(1+i)^21-i.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a forma trigonométrica do número complexo $ z = \frac{(1+i)^2}{1 - i} $. Para isso, vamos trabalhar com números complexos e suas representações trigonométricas. Precisamos lembrar como elevar um número complexo a uma potência e como dividir dois números complexos, convertendo-os para a forma trigonométrica no processo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o numerador (1+i)^2. Para elevar um número complexo ao quadrado, usamos a fórmula:
(a + b i)^2 = a^2 + 2 a b i + (b i)^2
No nosso caso, $ a = 1 $ e $ b = 1 $:
a = 1

Passo 3

Agora, temos:
z = 2i1 - i
Para simplificar essa fração, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é 1 + i:
z = 2i (1 + i)(1 - i)(1 + i)
Vamos calcular o denominador primeiro:
(1 - i)(1 + i) = 1^2 - (i)^2 = 1 - (-1) = 2
Então:
z = 2i (1 + i)2 = i (1 + i) = i + i^2 = i - 1 = -1 + i

Passo 4

Agora que temos $ z = -1 + i $, vamos converter isso para a forma trigonométrica. A forma trigonométrica de um número complexo é:
z = -1 + i
Onde:
  • $ r $ é o módulo do número complexo, calculado por $ r = \sqrt{a^2 + b^2} $
  • $ \theta $ é o argumento, dado por $ \theta = \arctan{\left(\frac{b}{a}\right)} $
Para $ z = -1 + i $:
z = r (cos theta + i sin theta)
Calculando o módulo:
r

Passo 5

Agora, vamos encontrar o argumento $ \theta $. Como $ a = -1 $ e $ b = 1 $, o número complexo está no segundo quadrante. Portanto:
theta

Resposta

A forma trigonométrica do número complexo $ z = \frac{(1+i)^2}{1 - i} $ é:
z = (1+i)^21 - i

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