Prove que se 2 n+1 e 3 n+1 são ambos quadrados perfeitos, então n é divisível por 40.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, se 2n+1 e 3n+1 são ambos quadrados perfeitos, então n é múltiplo de 40. O conteúdo principal aqui é usar argumentos em aritmética módulo para mostrar que 5\mid n e 8\mid n, concluindo 40\mid n.

Passo 2

Vamos primeiro mostrar que 5\mid n. Seja
r \equiv n \pmod{5},
então
2n+1 \equiv 2r+1 \pmod{5}, \quad 3n+1 \equiv 3r+1 \pmod{5}.
Os quadrados perfeitos módulo 5 são
\{\,0,1,4\}.
Para 2n+1 ser quadrado, é preciso que
2r+1 \in \{0,1,4\}.
Resolvendo 2r+1\equiv 0,1,4\pmod5 encontramos r\in\{0,2,4\}.
Agora impomos que 3n+1 também seja quadrado, ou seja
3r+1 \in \{0,1,4\}.
Testando r=0,2,4 vemos que apenas r=0 satisfaz essa condição.
Portanto
n\equiv 0\pmod{5},
isto é, 5\mid n.

Passo 3

Agora mostramos que 8\mid n. Seja
s \equiv n \pmod{8},
então
2n+1 \equiv 2s+1 \pmod{8}, \quad 3n+1 \equiv 3s+1 \pmod{8}.
Os quadrados perfeitos módulo 8 são
\{\,0,1,4\}.
Para 2n+1 ser quadrado, queremos
2s+1 \in \{0,1,4\}.
Fazendo s=0,1,\dots,7 ou resolvendo diretamente, verifica-se que a única possibilidade é s\equiv 0\pmod{4}, isto é s\in\{0,4\}.
A seguir, para 3n+1 ser quadrado, exigimos
3s+1 \in \{0,1,4\}.
Testando s=0 e s=4, só s=0 funciona.
Logo
n\equiv 0\pmod{8},
ou seja, 8\mid n.

Passo 4

Dos passos anteriores temos simultaneamente 5\mid n e 8\mid n. Como \gcd(5,8)=1, segue
40 = 5\cdot 8 \;\bigm|\; n.

Resposta

Concluímos que n é divisível por 40.

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