Prove que se 2 n+1 e 3 n+1 são ambos quadrados perfeitos, então n é divisível por 40.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, se 2n+1 e 3n+1 são ambos quadrados perfeitos, então n é múltiplo de 40. O conteúdo principal aqui é usar argumentos em aritmética módulo para mostrar que 5\mid n e 8\mid n, concluindo 40\mid n.
Fazendo s=0,1,\dots,7 ou resolvendo diretamente, verifica-se que a única possibilidade é s\equiv 0\pmod{4}, isto é s\in\{0,4\}.
A seguir, para 3n+1 ser quadrado, exigimos
3s+1 \in \{0,1,4\}.
Testando s=0 e s=4, só s=0 funciona.
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n\equiv 0\pmod{8},
ou seja, 8\mid n.
Passo 4
Dos passos anteriores temos simultaneamente 5\mid n e 8\mid n. Como \gcd(5,8)=1, segue