Determine os múltiplos naturais de 11 e 9 cuja soma é igual a:
80

Passo 1

O enunciado pede para encontrar múltiplos naturais de 11 e de 9 cuja soma dê 80.
O conteúdo envolvido é resolução de equação diofantina do tipo
11x + 9y = 80
onde x e y são números naturais (i.e.\ inteiros não negativos).

Passo 2

Para resolver
11x + 9y = 80
podemos isolar uma das variáveis. Por exemplo, isolando y:
9y = 80 - 11x Longrightarrow y = 80 - 11x9
Como y deve ser inteiro, o numerador 80-11x precisa ser múltiplo de 9.

Passo 3

Vamos analisar a congruência módulo 9:
11x + 9y equiv 80 pmod9
como 9yequiv0pmod9 e 11equiv2pmod9, fica
2x equiv 80 pmod9
Calculamos 80mod9=8, logo
2x equiv 8 pmod9 Longrightarrow x equiv 4 pmod9
Isto significa que
x = 4 + 9k, kinZ

Passo 4

Substituindo x=4+9k em y=(80-11x)/9:
y = 80 - 11(4+9k)9 = 80 - 44 - 99k9 = 36 - 99k9 = 4 - 11k
Portanto a solução geral é
x = 4 + 9k, y = 4 - 11k

Passo 5

Como x e y devem ser naturais ( >=0), temos as restrições
4 + 9k >= 0 e 4 - 11k >= 0
Da primeira vem k >= -tfrac49Rightarrow k>=0 e da segunda k <= tfrac411Rightarrow k<=0.
Logo o único inteiro que satisfaz ambas é k=0.
Isso dá
x=4, y=4

Resposta

Os múltiplos são
11cdot 4 = 44 e 9cdot 4 = 36,
cuja soma é 44 + 36 = 80.

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