Determine os múltiplos naturais de 11 e 9 cuja soma é igual a:
80
80
Passo 1
O enunciado pede para encontrar múltiplos naturais de
e de
cuja soma dê
.
O conteúdo envolvido é resolução de equação diofantina do tipo
O conteúdo envolvido é resolução de equação diofantina do tipo
onde
e
são números naturais (i.e.\ inteiros não negativos).
Passo 2
Para resolver
podemos isolar uma das variáveis. Por exemplo, isolando
:
Como
deve ser inteiro, o numerador
precisa ser múltiplo de
.
Passo 3
Vamos analisar a congruência módulo
:
como
e
, fica
Calculamos
, logo
Isto significa que
Passo 4
Substituindo
em
:
Portanto a solução geral é
Passo 5
Como
e
devem ser naturais (
), temos as restrições
Da primeira vem
e da segunda
.
Logo o único inteiro que satisfaz ambas é .
Isso dá
Logo o único inteiro que satisfaz ambas é
Isso dá
Resposta
Os múltiplos são
cuja soma é
.