Determine o menor número de pedidos necessários para garantir que o brinde saia com probabilidade maior que 0,9.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o menor número de pedidos que precisamos fazer para garantir que a gente consiga um brinde com uma probabilidade maior que 0,9 (ou 90%). Estamos falando de probabilidade, mais especificamente de eventos independentes onde cada pedido tem uma chance de dar certo ou não. Para resolver isso, a gente vai precisar entender um pouco sobre probabilidade de pelo menos um sucesso em uma série de tentativas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter uma probabilidade maior que 0,9 de conseguir pelo menos um brinde. Isso quer dizer que, se fizermos vários pedidos, queremos que a chance de receber pelo menos um brinde seja mais de 90%.
Passo 3
Vamos considerar que cada pedido tem uma probabilidade individual de resultar em um brinde. Vamos chamar essa probabilidade de $ p $. Como os pedidos são independentes, a probabilidade de não receber nenhum brinde em um único pedido é $ 1 - p $.
Passo 4
Se fizermos $ n $ pedidos, a probabilidade de não receber nenhum brinde em todos os pedidos é $ (1 - p)^n $. Portanto, a probabilidade de receber pelo menos um brinde é o complementar disso, ou seja:
Passo 5
Queremos que essa probabilidade seja maior que 0,9. Então, temos a inequação:
Vamos resolver para $ n $:
Passo 6
Para encontrar $ n $, vamos usar logaritmos. Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
Usando a propriedade dos logaritmos $ \ln(a^b) = b \cdot \ln(a) $:
Agora, isolamos $ n $:
Resposta
O menor número de pedidos necessários para garantir que o brinde seja recebido com probabilidade maior que 0,9 é:
Onde $ \lceil \cdot \rceil $ representa o menor número inteiro maior ou igual ao resultado da divisão. Portanto, substituindo o valor de $ p $ (a probabilidade de receber um brinde em um pedido) na fórmula, você consegue calcular o valor mínimo de $ n $.