Suponha que uma variável aleatória discreta
tenha a seguinte distribuição de probabilidade
para
e zero no complementar. Determine:
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para a gente determinar a constante $ c $ na distribuição de probabilidade da variável aleatória discreta $ X $. A distribuição é dada por $ P[X=x] = c \cdot x $ para $ x $ pertencente a
. Para resolver isso, vamos precisar lembrar que a soma das probabilidades de todos os possíveis valores de $ X $ deve ser igual a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos somar todas as probabilidades $ P[X=x] $ para $ x = 0 $ até $ x = N $. Isso fica assim:
Como a soma das probabilidades deve ser 1, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a soma
. Sabemos que a soma dos primeiros $ N $ números inteiros é dada pela fórmula:
Portanto, substituindo na nossa equação:
Passo 4
Para encontrar $ c $, vamos isolar essa constante na equação. Dividindo ambos os lados por
, temos:
Resposta
A constante $ c $ é igual a
.