Todo domingo, um pescador vai a um de três lugares perto de sua casa: ao mar com probabilidade 1 / 2, a um rio com probabilidade 1 / 4, ou a um lago com probabilidade 1 / 4. No mar, ele consegue fisgar um peixe com probabilidade 80 %; no rio e no lago essa probabilidade vale de 40 % e 60%, respectivamente. Se em um domingo o pescador volta para casa sem peixe algum, para onde é mais provável que ele tenha ido?

Passo 1

Então, vamos lá! A questão fala sobre um pescador que toda domingo escolhe entre ir ao mar, rio ou lago com certas probabilidades, e tem diferentes chances de pegar um peixe em cada lugar. Precisamos descobrir para onde ele provavelmente foi se ele voltou para casa sem pegar nenhum peixe. Vamos usar Probabilidade Condicional para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as probabilidades de ele escolher cada lugar:
  • Probabilidade de ir ao mar, $ P(Mar) = \frac{1}{2} $
  • Probabilidade de ir ao rio, $ P(Rio) = \frac{1}{4} $
  • Probabilidade de ir ao lago, $ P(Lago) = \frac{1}{4} $

Passo 3

Agora, vamos considerar as probabilidades de ele NÃO pegar nenhum peixe em cada lugar:
  • No mar, a chance de pegar um peixe é 80%, então a chance de não pegar é 20%, ou seja, $ P(Sem Peixe|Mar) = 0,2 $
  • No rio, a chance de pegar é 40%, então não pegar é 60%, $ P(Sem Peixe|Rio) = 0,6 $
  • No lago, a chance de pegar é 60%, então não pegar é 40%, $ P(Sem Peixe|Lago) = 0,4 $

Passo 4

Queremos saber a probabilidade de ele estar em cada lugar, dado que ele não pegou peixe, ou seja, $ P(Lugar|Sem Peixe) $. Para isso, usamos o Teorema de Bayes:
P(Lugar|Sem Peixe)

Passo 5

Primeiro, precisamos calcular $ P(Sem Peixe) $, que é a probabilidade total de ele não pegar peixe em qualquer lugar. Isso é:
P(Sem Peixe)
Substituindo os valores:
P(Sem Peixe) = P(Sem Peixe|Mar) times P(Mar) + P(Sem Peixe|Rio) times P(Rio) + P(Sem Peixe|Lago) times P(Lago)

Passo 6

Agora, vamos calcular $ P(Mar|Sem Peixe) $:
P(Mar|Sem Peixe)

Passo 7

Calculando $ P(Rio|Sem Peixe) $:
P(Rio|Sem Peixe)

Passo 8

E por fim, $ P(Lago|Sem Peixe) $:
P(Lago|Sem Peixe)

Resposta

Portanto, se o pescador voltou para casa sem peixe, é mais provável que ele tenha ido ao rio, com aproximadamente 42,86% de chance.

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