Explique por que X é contínua e obtenha a densidade de X.

Passo 1

Você quer entender por que a variável aleatória $ X $ é contínua e descobrir qual é a sua densidade. Vamos usar conceitos de variáveis contínuas e funções de densidade para resolver isso juntos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma variável aleatória ser contínua. Uma variável $ X $ é contínua se pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo contínuo de números reais, ou seja, não há “saltos” nos valores que ela pode tomar.

Passo 3

Para mostrar que $ X $ é contínua, precisamos analisar sua função de distribuição acumulada (FDA), que chamaremos de $ F_X(x) $. Se $ F_X(x) $ for uma função contínua e suave (diferenciável) em todo o seu domínio, isso indica que $ X $ é uma variável contínua.

Passo 4

A próxima etapa é encontrar a densidade de probabilidade de $ X $, que é a função $ f_X(x) $. Essa densidade é obtida derivando a função de distribuição acumulada $ F_X(x) $ em relação a $ x $:
X

Passo 5

Então, ao derivarmos $ F_X(x) $, obtemos $ f_X(x) $, que nos dá a probabilidade de $ X $ assumir valores específicos dentro de um intervalo. Isso confirma que $ X $ é contínua, já que sua densidade está bem definida em todos os pontos do intervalo considerado.

Resposta

A variável aleatória $ X $ é contínua porque sua função de distribuição acumulada $ F_X(x) $ é diferenciável, e sua densidade de probabilidade é dada por $ f_X(x) = \frac{d}{dx} F_X(x) $.

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