Esboce a região formada com a intersecção das esferas de equação x^2+y^2+z^2=1 e(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2= 1.

Passo 1

O enunciado pede o esboço da região comum a duas esferas de raio 1, com centros em
O=(0,0,0) e A=(1,1,1)
O conteúdo aqui é geometria no espaço: identificação da curva de interseção entre duas superfícies esféricas e descrição da região sólida obtida.

Passo 2

Calcule a distância entre os centros das esferas:
d = raiz(1-0)^2+(1-0)^2+(1-0)^2 = raiz3
Como d=raiz3<2, as esferas realmente se intersectam em uma curva fechada.

Passo 3

Para obter a curva de interseção, iguale as duas equações:
x^2+y^2+z^2 = (x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2
Desenvolvendo e simplificando surge o plano
x+y+z=32

Passo 4

A interseção das esferas com esse plano é uma circunferência. O centro C dessa circunferência é o pé da perpendicular de O ao plano:
C = 3/21^2+1^2+1^2(1,1,1) = l(tfrac12,tfrac12,tfrac12r)
A distância do plano a O é tfracraiz32, de modo que o raio r da circunferência vale
r = raiz1 - l(tfracraiz32r)^2 = tfrac12

Passo 5

A região de interseção é o “lens” ou lente formado pelos dois calotes esféricos que se sobrepõem. Em um esboço, deve-se desenhar:
  1. Duas esferas de raio 1 com centros em O e A.
  2. O plano x+y+z=tfrac32.
  3. A circunferência de interseção de centro l(tfrac12,tfrac12,tfrac12r) e raio tfrac12.
    O sólido comum é o volume limitado por essa circunferência num plano, unindo-se à superfície de cada esfera.

Resposta

A curva de interseção das esferas é a circunferência de centro l(tfrac12,tfrac12,tfrac12r), raio tfrac12, contida no plano
x+y+z=32
O sólido de interseção é a lente esférica formada pelos dois calotes que se sobrepõem.

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