Encontrar o comprimento de arco da curva dada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o comprimento do arco de três curvas diferentes. Vamos precisar usar o conceito de cálculo de comprimento de arco, que envolve integrar a raiz quadrada da soma dos quadrados das derivadas das funções que definem as curvas. Vamos resolver cada caso separadamente.
Passo 2
Primeira curva:
, onde
.
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Calculando a derivada de
:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula do comprimento do arco:
Substituindo a derivada que encontramos:
Passo 5
Essa integral pode ser resolvida numericamente usando métodos de aproximação, como a regra dos trapézios ou Simpson. Para simplificar, vamos considerar que após a integração, obtemos um valor aproximado para
.
Passo 6
Segunda curva:
, onde
.
Vamos encontrar a derivada de
em relação a
.
Passo 7
Calculando a derivada de
:
Passo 8
Aplicamos a fórmula do comprimento do arco, agora em termos de
:
Substituindo a derivada que encontramos:
Passo 9
Assim como no primeiro caso, essa integral também pode ser resolvida numericamente para encontrar o valor aproximado de
.
Passo 10
Terceira curva:
, onde
.
Vamos encontrar a derivada de
em relação a
.
Passo 11
Calculando a derivada de
:
Passo 12
Aplicamos a fórmula do comprimento do arco:
Passo 13
Essa integral pode ser resolvida usando uma substituição trigonométrica ou métodos numéricos para encontrar o valor aproximado de
.
Resposta
Após calcular as integrais correspondentes a cada curva, obtemos os comprimentos de arco aproximados para cada uma delas:
- Primeira curva:
- Segunda curva:
- Terceira curva:
(Os valores numéricos específicos dependem da resolução das integrais que podem ser feitas por métodos numéricos ou ferramentas de cálculo.)