Determine o menor valor para a imagem das funções:
f(x)=(5)^x^2-7 x+10

Passo 1

O enunciado pede o menor valor da imagem da função
f(x)=5^x^2-7x+10
Aqui temos uma exponencial de base maior que 1 e um polinômio quadrático no expoente. Como a exponencial é crescente quando a base é maior que 1, o mínimo de f ocorre exatamente no mínimo do polinômio g(x)=x^2-7x+10.

Passo 2

Definimos
g(x)=x^2-7x+10
É uma parábola com coeficiente líder a=1>0, então ela tem um único mínimo no vértice, dado por
xv = -b2a = --72cdot1 = 72

Passo 3

Calculamos o valor mínimo de g em x=tfrac72:
gl(tfrac72r) =l(tfrac72r)^2 -7cdot72+10 =494-492+404 =49-98+404 =-94

Passo 4

Como f(x)=5^g(x) e 5^y cresce em y, o mínimo de f é
f!l(tfrac72r) =5^,g(tfrac72) =5^-tfrac94

Resposta

O menor valor da imagem de f é
5^-tfrac94

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