Determine o menor valor para a imagem das funções:
f(x)=(12)^-x^2+6 x-8

Passo 1

O enunciado pede o menor valor da imagem da função exponencial f(x)=l(tfrac12r)^-x^2+6x-8. Vamos usar conhecimentos de funções exponenciais e otimização de quadráticas.

Passo 2

Observa que l(tfrac12r)^a=2^-a. Logo
f(x)=2^x^2-6x+8
Como a função 2^u é crescente em u, minimizar f(x) equivale a minimizar o expoente u(x)=x^2-6x+8, que é uma parábola.

Passo 3

A parábola u(x)=x^2-6x+8 tem vértice em x=-(-6)2cdot1=3. O valor mínimo é
u(3)=3^2-6cdot3+8=9-18+8=-1

Passo 4

Substituindo no expoente da exponencial, o menor valor de f(x) é
f(3)=2^-1=tfrac12

Resposta

tfrac12

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