Determine se o método de separação de variáveis pode ser usado para substituir a equação diferencial dada por um par de equações diferenciais ordinárias. Nesse caso, encontre as equações:
t ux x+t ut=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação em u(x,t)
t,uxx + t,ut = 0,
e pede para verificar se dá para usar separação de variáveis, isto é, procurar uma solução da forma
u(x,t)=X(x),T(t)
O conteúdo é PDE do tipo “calor” e vamos precisar apenas fazer a suposição u=X,T e separar as variáveis em dois ODEs.

Passo 2

Supondo u(x,t)=X(x),T(t), temos
uxx=X''(x),T(t), ut=X(x),T'(t)
Substituindo na PDE:
tl[X''(x),T(t)+X(x),T'(t)r]=0
Para t>0 podemos dividir por t e reorganizar:
X''(x),T(t)+X(x),T'(t)=0
Depois dividimos por X(x),T(t) (assumindo X,Tneq0):
X''(x)X(x)+T'(t)T(t)=0

Passo 3

Como o primeiro termo depende só de x e o segundo só de t, cada um deve ser igual a uma constante lambda (a “constante de separação”). Assim definimos
X''(x)X(x)=lambda, T'(t)T(t)=-lambda
Isso gera o par de ODEs
X''(x)=lambda,X(x), T'(t)+lambda,T(t)=0

Resposta

As equações diferenciais ordinárias obtidas por separação de variáveis são
X''(x)=lambda,X(x), T'(t)+lambda,T(t)=0,
onde lambda é a constante de separação.

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