Determine se o método de separação de variáveis pode ser usado para substituir a equação diferencial dada por um par de equações diferenciais ordinárias. Nesse caso, encontre as equações:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação em
e pede para verificar se dá para usar separação de variáveis, isto é, procurar uma solução da forma
O conteúdo é PDE do tipo “calor” e vamos precisar apenas fazer a suposição
e separar as variáveis em dois ODEs.
Passo 2
Supondo
, temos
Substituindo na PDE:
Para
podemos dividir por
e reorganizar:
Depois dividimos por
(assumindo
):
Passo 3
Como o primeiro termo depende só de
e o segundo só de
, cada um deve ser igual a uma constante
(a “constante de separação”). Assim definimos
Isso gera o par de ODEs
Resposta
As equações diferenciais ordinárias obtidas por separação de variáveis são
onde
é a constante de separação.