Estude a série com relação a convergência ou divergência.
sumn=0^+infty nn^3+n+1

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
sumn=0^infty nn^3+n+1
O conteúdo aqui é séries numéricas e vamos usar o teste de comparação e o teste da razão limite (limit comparison) com uma p-série.

Passo 2

Para n grande, o termo geral
an = nn^3+n+1
tem comportamento assintótico dominado pelos maiores termos em numerador e denominador. Como n^3+n+1 = n^3l(1 + O(1/n^2)r), segue
an sim nn^3 = 1n^2

Passo 3

Considere a p-série
bn = 1n^2,
sendo conhecida a convergência dessa série pois p=2>1.

Passo 4

Aplicamos o teste da comparação de limite (limit comparison):
limntoinftyanbn = limntoinftynn^3+n+11n^2 = limntoinftyn^3n^3+n+1 =1
Como o limite é finito e não nulo, as duas séries têm o mesmo comportamento: bn converge, logo an também converge.

Resposta

A série converge.

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