Prove que a função z=e^y varphi(y e^x^2 / 2 y^2) satisfaz a equação (x^2-y^2) zx+xyzy=xyz, onde varphi é uma função real diferenciável.

Passo 1

Resumindo, queremos mostrar que a função
z(x,y) = e^y,varphi!l(y,e^x^2/(2y^2)r)
satisfaz a equação em derivadas parciais
l(x^2-y^2r),zx+x y,zy=x y,z
O conteúdo principal é aplicar a regra do produto e a regra da cadeia para calcular zx e zy e então verificar que a combinação dada pela PDE realmente retorna x y,z.

Passo 2

Para facilitar, definimos uma nova variável intermediária
u = y,e^x^22y^2
Então
z(x,y)=e^y,varphi(u)
Agora calculamos ux e uy pela regra da cadeia e do produto. Primeiro
ux =partialpartial xl[y,e^x^22y^2r] =y,e^x^22y^2cdotpartialpartial xl(x^22y^2r) =y,e^x^22y^2,xy^2 =xy^2,u
Em seguida
uy =partialpartial yl[y,e^x^22y^2r] =e^x^22y^2 +y,e^x^22y^2cdotpartialpartial yl(x^22y^2r) =e^x^22y^2 +y,e^x^22y^2,l(-x^2y^3r) =e^x^22y^2l(1-x^2y^2r)
Como e^x^2/(2y^2)=u/y, obtemos
uy =uyl(1-x^2y^2r) =u,(y^2-x^2)y^3

Passo 3

Usando z=e^yvarphi(u), aplicamos a regra da cadeia em x:
zx =partial e^ypartial x,varphi(u) +e^y,varphi'(u),ux =0 + e^y,varphi'(u),xy^2,u =x,uy^2,e^y,varphi'(u)

Passo 4

Agora em y usamos a regra do produto e da cadeia:
zy =partial e^ypartial y,varphi(u) +e^y,varphi'(u),uy =e^y,varphi(u) +e^y,varphi'(u),u,(y^2-x^2)y^3 =z + u,(y^2-x^2)y^3,e^y,varphi'(u)

Passo 5

Substituindo em l(x^2-y^2r)zx+x y,zy:
(x^2-y^2),zx =(x^2-y^2)x,uy^2e^yvarphi'(u),
x y,zy =x yl[z + u,(y^2-x^2)y^3e^yvarphi'(u)r] =x y,z + x y,u,(y^2-x^2)y^3e^yvarphi'(u)
Somando, o termo proporcional a varphi'(u) é
x,u,e^yvarphi'(u)y^2l(x^2-y^2r) + x,u,e^yvarphi'(u)y^2l(y^2-x^2r) =0,
restando apenas
(x^2-y^2)zx+x y,zy=x y,z

Resposta

A função dada satisfaz a equação l(x^2-y^2r)zx+x y,zy=x y,z, pois ao calcular zx e zy e substituí-los na PDE, todos os termos extras se cancelam, restando exatamente x y,z.

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