Prove que a função
satisfaz a equação
, onde
é uma função real diferenciável.
Passo 1
Resumindo, queremos mostrar que a função
satisfaz a equação em derivadas parciais
O conteúdo principal é aplicar a regra do produto e a regra da cadeia para calcular
e
e então verificar que a combinação dada pela PDE realmente retorna
.
Passo 2
Para facilitar, definimos uma nova variável intermediária
Então
Agora calculamos
e
pela regra da cadeia e do produto. Primeiro
Em seguida
Como
, obtemos
Passo 3
Usando
, aplicamos a regra da cadeia em
:
Passo 4
Agora em
usamos a regra do produto e da cadeia:
Passo 5
Substituindo em
:
Somando, o termo proporcional a
é
restando apenas
Resposta
A função dada satisfaz a equação
, pois ao calcular
e
e substituí-los na PDE, todos os termos extras se cancelam, restando exatamente
.