Determine se o método de separação de variáveis pode ser usado para substituir a equação diferencial parcial x yx x+yt=0 por um par de equações diferenciais ordinárias. Se puder, encontre as equações. (Resposta: se y(x, t)=F(x) G(t), então x F^prime prime-lambda F=0 e G^prime+lambda G=0 )

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial parcial
x,yxx + yt = 0
e pergunta se podemos usar separação de variáveis para reduzi-la a um par de equações diferenciais ordinárias. O conteúdo aqui é o método de separação de variáveis em PDEs.

Passo 2

Suponha uma solução do tipo
y(x,t) = F(x),G(t)
Então
yxx = F''(x),G(t),
yt = F(x),G'(t)

Passo 3

Substituindo em ,x,yxx + yt=0 obtemos
x,F''(x),G(t) + F(x),G'(t) = 0
Dividindo por F(x),G(t) (supondo Fneq0 e Gneq0) resulta em
x,F''(x)F(x) + G'(t)G(t) = 0

Passo 4

Como o primeiro termo depende só de x e o segundo só de t, cada um deve ser igual a uma constante lambda, com sinais opostos:
x,F''(x)F(x) = lambda, G'(t)G(t) = -lambda

Passo 5

Reescrevendo em forma de ODEs temos
x,F''(x) - lambda,F(x) = 0,
G'(t) + lambda,G(t) = 0

Resposta

As equações diferenciais ordinárias obtidas são
x,F''(x) - lambda,F(x) = 0, G'(t) + lambda,G(t) = 0

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