Determine se o método de separação de variáveis pode ser usado para substituir a equação diferencial parcial
por um par de equações diferenciais ordinárias. Se puder, encontre as equações. (Resposta: se
, então
e
)
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial parcial
e pergunta se podemos usar separação de variáveis para reduzi-la a um par de equações diferenciais ordinárias. O conteúdo aqui é o método de separação de variáveis em PDEs.
Passo 2
Suponha uma solução do tipo
Então
Passo 3
Substituindo em
obtemos
Dividindo por
(supondo
e
) resulta em
Passo 4
Como o primeiro termo depende só de
e o segundo só de
, cada um deve ser igual a uma constante
, com sinais opostos:
Passo 5
Reescrevendo em forma de ODEs temos
Resposta
As equações diferenciais ordinárias obtidas são