) Questão.
Se
é um termo positivo e derivável e
é convergente então verifique se
é uma série convergente.
Passo 1
O enunciado diz que
é uma sequência de termos positivos e derivável (o que garante, em particular, que
) e que a série
é convergente. Queremos verificar se
também converge. O conteúdo principal aqui são testes de comparação para séries de termos positivos e o fato de que, para
, vale a desigualdade
.
Passo 2
Como
converge e
, temos necessariamente
. Para todo
, pela propriedade do logaritmo,
pois a função
satisfaz
para
. Em particular vale para cada
.
Passo 3
Pela comparação direta de séries de termos não negativos, se
e
converge, então
também converge (é dominada pela série convergente
).
Resposta
A série
é convergente.