31^circ ) Questão.

Se an é um termo positivo e derivável e sum an é convergente então verifique se sum ln (1+an) é uma série convergente.

Passo 1

O enunciado diz que an é uma sequência de termos positivos e derivável (o que garante, em particular, que anto0) e que a série
sumn=1^infty an
é convergente. Queremos verificar se
sumn=1^infty lnl(1+anr)
também converge. O conteúdo principal aqui são testes de comparação para séries de termos positivos e o fato de que, para x>0, vale a desigualdade ln(1+x)<= x.

Passo 2

Como sum an converge e an>0, temos necessariamente anto0. Para todo n, pela propriedade do logaritmo,
0<lnl(1+anr)<= an,
pois a função f(x)=ln(1+x) satisfaz f(x)<= x para x>-1. Em particular vale para cada an>0.

Passo 3

Pela comparação direta de séries de termos não negativos, se 0<= ln(1+an)<= an e sum an converge, então
sumn=1^infty lnl(1+anr)
também converge (é dominada pela série convergente sum an).

Resposta

A série sumn=1^infty lnl(1+anr) é convergente.

Exercícios relacionados