33^circ ) Questão.

Mostre que se sum an diverge, então sum|an| também é divergente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, sempre que a série sum an diverge, a série de termos positivos sumlvert anrvert também não pode convergir. O conteúdo principal aqui é o critério de convergência absoluta, que diz que se sumlvert anrvert converge, então sum an converge (absolutamente).

Passo 2

Lembrando o teorema de convergência absoluta:
se
sumn=1^inftylvert anrvert
converge, então automaticamente
sumn=1^inftyan
converge (pois a soma de termos positivos finita garante que os próprios termos an formam uma sequência cujo somatório é finito).

Passo 3

Aplicamos o princípio da contrapositiva:
– Teorema: “Se sumlvert anrvert converge, então sum an converge.”
– Contrapositiva: “Se sum an não converge (i.e.\ diverge), então sumlvert anrvert não converge (i.e.\ diverge).”

Resposta

Portanto, mostramos que a divergência de sum an implica a divergência de sumlvert anrvert.

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