) Questão.
Mostre que se
diverge, então
também é divergente.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, sempre que a série
diverge, a série de termos positivos
também não pode convergir. O conteúdo principal aqui é o critério de convergência absoluta, que diz que se
converge, então
converge (absolutamente).
Passo 2
Lembrando o teorema de convergência absoluta:
se
se
converge, então automaticamente
converge (pois a soma de termos positivos finita garante que os próprios termos
formam uma sequência cujo somatório é finito).
Passo 3
Aplicamos o princípio da contrapositiva:
– Teorema: “Se converge, então
converge.”
– Contrapositiva: “Se não converge (i.e.\ diverge), então
não converge (i.e.\ diverge).”
– Teorema: “Se
– Contrapositiva: “Se
Resposta
Portanto, mostramos que a divergência de
implica a divergência de
.