Determine se o método de separação de variáveis pode ser usado para sustituir la equação parcial dada por um par de equações diferenciais ordinárias. Neste caso encontre as equações.
u_xx + u_yy = 0

Passo 1

Então, pelo que entendi, a gente precisa verificar se dá pra usar o método de separação de variáveis para resolver a equação parcial . Esse método é super útil pra transformar equações mais complicadas em umas mais simples, resolvendo duas equações diferenciais ordinárias (ODEs) separadinhas. Vamos ver se a gente consegue aplicar isso aqui!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é equação diferencial parcial (EDP): é uma equação que envolve derivadas de uma função em relação a mais de uma variável. No nosso caso, depende de e , e temos as derivadas segunda em relação a cada uma delas.

Passo 3

O método de separação de variáveis sugere que a solução pode ser escrita como um produto de duas funções, cada uma dependente de uma única variável. Ou seja, vamos supor que:
Aqui, é uma função só de e só de .

Passo 4

Agora, vamos substituir essa forma na equação original. Primeiro, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação :

Passo 5

Vamos dividir toda a equação por para separar as variáveis:
Como uma expressão depende só de e a outra só de , a única maneira dessa igualdade ser verdadeira para todos os valores de e é se cada termo for igual a uma constante, mas com sinais opostos. Vamos chamar essa constante de :

Passo 6

Agora, temos duas equações diferenciais ordinárias:
  1. Para :
  1. Para :
Essas são as ODEs que a gente precisava encontrar usando a separação de variáveis.

Resposta

Sim, o método de separação de variáveis pode ser usado. As equações diferenciais ordinárias resultantes são:
e

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