Determine se o método de separação de variáveis pode ser usado para sustituir la equação parcial dada por um par de equações diferenciais ordinárias. Neste caso encontre as equações.
Passo 1
Então, pelo que entendi, a gente precisa verificar se dá pra usar o método de separação de variáveis para resolver a equação parcial
. Esse método é super útil pra transformar equações mais complicadas em umas mais simples, resolvendo duas equações diferenciais ordinárias (ODEs) separadinhas. Vamos ver se a gente consegue aplicar isso aqui!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é equação diferencial parcial (EDP): é uma equação que envolve derivadas de uma função em relação a mais de uma variável. No nosso caso,
depende de
e
, e temos as derivadas segunda em relação a cada uma delas.
Passo 3
O método de separação de variáveis sugere que a solução
pode ser escrita como um produto de duas funções, cada uma dependente de uma única variável. Ou seja, vamos supor que:
Aqui,
é uma função só de
e
só de
.
Passo 4
Agora, vamos substituir essa forma na equação original. Primeiro, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação
:
Passo 5
Vamos dividir toda a equação por
para separar as variáveis:
Como uma expressão depende só de
e a outra só de
, a única maneira dessa igualdade ser verdadeira para todos os valores de
e
é se cada termo for igual a uma constante, mas com sinais opostos. Vamos chamar essa constante de
:
Passo 6
Agora, temos duas equações diferenciais ordinárias:
- Para
:
- Para
:
Essas são as ODEs que a gente precisava encontrar usando a separação de variáveis.
Resposta
Sim, o método de separação de variáveis pode ser usado. As equações diferenciais ordinárias resultantes são:
e