Encontre a temperatura u(x, t) em uma barra de metal com 40 cm de comprimento, isolada dos lados e que está inicialmente a uma temperatura u(x, 0) = f(x), supondo que alpha = 1 e que suas extremidades são mantidas a temperatura de 0 graus C. Onde f(x) é
f(x) = { 5/2 * x, 0 <= x < 20; 100 - 5/2 * x, 20 <= x <= 40 }

Passo 1

Então, galera, vamos resolver um exercício de condução de calor! Temos uma barra de metal com 40 cm de comprimento, isolada nas laterais. No início, a temperatura da barra é dada por uma função , e as extremidades da barra estão sempre a . Queremos descobrir como a temperatura muda ao longo do tempo. Para isso, vamos usar a equação do calor, que é o nosso principal conteúdo aqui. Vamos precisar entender como aplicar séries de Fourier para resolver esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a equação que descreve a condução de calor na barra. A equação do calor em uma dimensão é dada por:
Aqui, é a difusividade térmica, que, no nosso caso, é igual a 1. As condições de contorno são que as extremidades da barra estão a , ou seja, para todo . A condição inicial é que a temperatura na barra no tempo é dada por:

Passo 3

Agora, vamos usar o método de separação de variáveis para resolver essa equação. Isso significa que vamos assumir que a solução pode ser escrita como o produto de uma função que depende apenas de e outra que depende apenas de , ou seja:
Substituindo isso na equação do calor, teremos:
Dividindo ambos os lados por , obtemos:
Aqui, é uma constante de separação.

Passo 4

Com isso, temos duas equações diferenciais ordinárias:
  1. Para :
  1. Para :
As soluções dessas equações dependem das condições de contorno. Como as temperaturas nas extremidades são zero, temos:
Isso nos leva a soluções da forma de funções seno, e os valores de (autovalores) serão determinados para que as soluções satisfaçam as condições de contorno.

Passo 5

Resolvendo a equação para :
Onde é um número inteiro positivo ( ). Assim, os autovalores são:

Passo 6

Agora, resolvemos a equação para :
Portanto, cada modo de temperatura é dado por:
Onde são os coeficientes que precisamos determinar a partir da condição inicial.

Passo 7

A solução geral é a soma de todos esses modos:
Para encontrar os coeficientes , usamos a condição inicial :
Isso significa que são os coeficientes da série de Fourier de em termos das funções seno.

Passo 8

Calculando os coeficientes usando a fórmula da série de Fourier:
Devido à definição de , precisamos calcular essa integral em duas partes, de a e de a .
Após calcular essas integrais para cada , teremos os coeficientes , e assim, podemos escrever a solução completa.

Resposta

A temperatura na barra para qualquer posição e tempo é dada pela série:
onde os coeficientes são determinados por:
Dessa forma, a temperatura evolui no tempo de acordo com a soma dessas funções seno multiplicadas por expoentes decrescentes.

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