Encontre a temperatura
em uma barra de metal com 40 cm de comprimento, isolada dos lados e que está inicialmente a uma temperatura
, supondo que
e que suas extremidades são mantidas a temperatura de
. Onde
é
Passo 1
Então, galera, vamos resolver um exercício de condução de calor! Temos uma barra de metal com 40 cm de comprimento, isolada nas laterais. No início, a temperatura da barra é dada por uma função
, e as extremidades da barra estão sempre a
. Queremos descobrir como a temperatura
muda ao longo do tempo. Para isso, vamos usar a equação do calor, que é o nosso principal conteúdo aqui. Vamos precisar entender como aplicar séries de Fourier para resolver esse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a equação que descreve a condução de calor na barra. A equação do calor em uma dimensão é dada por:
Aqui,
é a difusividade térmica, que, no nosso caso, é igual a 1. As condições de contorno são que as extremidades da barra estão a
, ou seja,
para todo
. A condição inicial é que a temperatura na barra no tempo
é dada por:
Passo 3
Agora, vamos usar o método de separação de variáveis para resolver essa equação. Isso significa que vamos assumir que a solução
pode ser escrita como o produto de uma função que depende apenas de
e outra que depende apenas de
, ou seja:
Substituindo isso na equação do calor, teremos:
Dividindo ambos os lados por
, obtemos:
Aqui,
é uma constante de separação.
Passo 4
Com isso, temos duas equações diferenciais ordinárias:
- Para
:
- Para
:
As soluções dessas equações dependem das condições de contorno. Como as temperaturas nas extremidades são zero, temos:
Isso nos leva a soluções da forma de funções seno, e os valores de
(autovalores) serão determinados para que as soluções satisfaçam as condições de contorno.
Passo 5
Resolvendo a equação para
:
Onde
é um número inteiro positivo (
). Assim, os autovalores são:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação para
:
Portanto, cada modo de temperatura é dado por:
Onde
são os coeficientes que precisamos determinar a partir da condição inicial.
Passo 7
A solução geral é a soma de todos esses modos:
Para encontrar os coeficientes
, usamos a condição inicial
:
Isso significa que
são os coeficientes da série de Fourier de
em termos das funções seno.
Passo 8
Calculando os coeficientes
usando a fórmula da série de Fourier:
Devido à definição de
, precisamos calcular essa integral em duas partes, de
a
e de
a
.
Após calcular essas integrais para cada
, teremos os coeficientes
, e assim, podemos escrever a solução completa.
Resposta
A temperatura na barra para qualquer posição
e tempo
é dada pela série:
onde os coeficientes
são determinados por:
Dessa forma, a temperatura
evolui no tempo de acordo com a soma dessas funções seno multiplicadas por expoentes decrescentes.