Determine
e
de modo que a equação
represente uma circunferência.
Passo 1
O enunciado pede: determinar
,
e
de modo que a equação
represente uma circunferência.
Informações fornecidas (pegue essas diretamente do enunciado):
Informações fornecidas (pegue essas diretamente do enunciado):
- coeficiente de
é ; - coeficiente de
é (incógnita a determinar); - coeficiente de
é (incógnita); - coeficiente de
é ; - coeficiente de
é ; - termo independente é
(incógnita).
O que precisamos entregar: valores (ou condição) para
,
e
tais que a curva definida pela equação seja uma circunferência (ou seja, um círculo no plano).
Passo 2
Primeiro vamos entender qual é a condição algébrica que garante que uma equação geral de segundo grau represente uma circunferência.
Uma equação geral de segundo grau em
pode ser escrita como
Para que esta curva seja uma circunferência (possivelmente deslocada, i.e. com centro
qualquer), é necessário e suficiente que os coeficientes dos termos quadráticos satisfaçam duas condições:
- o coeficiente de
seja igual ao coeficiente de , isto é ; - o coeficiente do termo misto
seja zero, isto é .
Explicação curta e intuitiva (sem jargões pesados): a parte quadrática
pode ser vista como uma “elipse geral” quando escrita em coordenadas apropriadas; uma circunferência é o caso especial em que essa parte é proporcional a
, isto é, a mesma curva em todas as direções — por isso precisa ter coeficientes iguais para
e
e nenhum termo misto. Logo, aplicando isso ao nosso caso:
Compare com
,
e
. Assim as condições implicam
Passo 3
Agora que fixamos
e
, vamos escrever a equação com esses valores e completar quadrados para obter o centro e o raio — isso também nos dará a condição sobre
para que a circunferência seja realmente não degenerada (raio real e positivo).
Substituindo
e
na equação original:
Dividimos tudo por
para simplificar os coeficientes:
Simplificando as frações
e
:
Agora completamos o quadrado em
e em
separadamente.
Para
:
Para
:
Substituindo essas expressões na equação:
Juntando os termos constantes:
Portanto a equação fica
ou, isolando os quadrados,
Isto mostra que a curva é uma circunferência com centro
e raio
Para ser uma circunferência real com raio positivo precisamos que o quadrado do raio seja positivo, ou seja:
Se
obtém-se
, que corresponde a uma circunferência degenerada (um ponto). Se
não há pontos reais (raio imaginário) — não é uma circunferência real.
Passo 4
Resumo final do raciocínio (pra você levar pra prova): primeiro force os coeficientes quadráticos a satisfazerem
e
(isso garante a forma
nas quadráticas). Depois complete quadrados para ler centro e raio; daí surge a condição sobre
. Se ficar nervoso na prova, lembra: igualar
e
e eliminar
é a primeira pista; completar quadrado é procedimento mecânico e rápido.