Determine a, b e c de modo que a equação 36 x^{2}+a y^{2}+b x y+24 x-12 y+c=0 represente uma circunferência.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a, b e c de modo que a equação
36x^{2}+a y^{2}+b x y+24x-12y+c=0
represente uma circunferência.
Informações fornecidas (pegue essas diretamente do enunciado):
  • coeficiente de x^{2} é 36;
  • coeficiente de y^{2} é a (incógnita a determinar);
  • coeficiente de xy é b (incógnita);
  • coeficiente de x é 24;
  • coeficiente de y é -12;
  • termo independente é c (incógnita).
O que precisamos entregar: valores (ou condição) para a, b e c tais que a curva definida pela equação seja uma circunferência (ou seja, um círculo no plano).

Passo 2

Primeiro vamos entender qual é a condição algébrica que garante que uma equação geral de segundo grau represente uma circunferência.
Uma equação geral de segundo grau em x,y pode ser escrita como
A x^{2}+B x y+C y^{2}+D x+E y+F=0.
Para que esta curva seja uma circunferência (possivelmente deslocada, i.e. com centro (h,k) qualquer), é necessário e suficiente que os coeficientes dos termos quadráticos satisfaçam duas condições:
  1. o coeficiente de x^{2} seja igual ao coeficiente de y^{2}, isto é A=C;
  2. o coeficiente do termo misto xy seja zero, isto é B=0.
Explicação curta e intuitiva (sem jargões pesados): a parte quadrática A x^{2}+Bxy+C y^{2} pode ser vista como uma “elipse geral” quando escrita em coordenadas apropriadas; uma circunferência é o caso especial em que essa parte é proporcional a x^{2}+y^{2}, isto é, a mesma curva em todas as direções — por isso precisa ter coeficientes iguais para x^{2} e y^{2} e nenhum termo misto. Logo, aplicando isso ao nosso caso:
Compare com A=36, B=b e C=a. Assim as condições implicam
a=36 \qquad\text{e}\qquad b=0.

Passo 3

Agora que fixamos a e b, vamos escrever a equação com esses valores e completar quadrados para obter o centro e o raio — isso também nos dará a condição sobre c para que a circunferência seja realmente não degenerada (raio real e positivo).
Substituindo a=36 e b=0 na equação original:
36x^{2}+36y^{2}+24x-12y+c=0.
Dividimos tudo por 36 para simplificar os coeficientes:
x^{2}+y^{2}+\frac{24}{36}x-\frac{12}{36}y+\frac{c}{36}=0.
Simplificando as frações \frac{24}{36}=\frac{2}{3} e \frac{12}{36}=\frac{1}{3}:
x^{2}+y^{2}+\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y+\frac{c}{36}=0.
Agora completamos o quadrado em x e em y separadamente.
Para x:
x^{2}+\frac{2}{3}x=\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}-\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}-\frac{1}{9}.
Para y:
y^{2}-\frac{1}{3}y=\left(y-\frac{1}{6}\right)^{2}-\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\left(y-\frac{1}{6}\right)^{2}-\frac{1}{36}.
Substituindo essas expressões na equação:
\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}-\frac{1}{9}+\left(y-\frac{1}{6}\right)^{2}-\frac{1}{36}+\frac{c}{36}=0.
Juntando os termos constantes:
-\frac{1}{9}-\frac{1}{36}+\frac{c}{36}=-\frac{4}{36}-\frac{1}{36}+\frac{c}{36}=-\frac{5}{36}+\frac{c}{36}=\frac{c-5}{36}.
Portanto a equação fica
\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}+\left(y-\frac{1}{6}\right)^{2}+\frac{c-5}{36}=0,
ou, isolando os quadrados,
\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}+\left(y-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{5-c}{36}.
Isto mostra que a curva é uma circunferência com centro
\left(-\frac{1}{3},\frac{1}{6}\right)
e raio
R=\sqrt{\frac{5-c}{36}}=\frac{\sqrt{5-c}}{6}.
Para ser uma circunferência real com raio positivo precisamos que o quadrado do raio seja positivo, ou seja:
\frac{5-c}{36}>0 \quad\Longrightarrow\quad 5-c>0 \quad\Longrightarrow\quad c<5.
Se c=5 obtém-se R=0, que corresponde a uma circunferência degenerada (um ponto). Se c>5 não há pontos reais (raio imaginário) — não é uma circunferência real.

Passo 4

Resumo final do raciocínio (pra você levar pra prova): primeiro force os coeficientes quadráticos a satisfazerem A=C e B=0 (isso garante a forma x^{2}+y^{2} nas quadráticas). Depois complete quadrados para ler centro e raio; daí surge a condição sobre c. Se ficar nervoso na prova, lembra: igualar x^{2} e y^{2} e eliminar xy é a primeira pista; completar quadrado é procedimento mecânico e rápido.

Resposta

a=36
b=0
c<5 (para circunferência real com raio R=\dfrac{\sqrt{5-c}}{6}; c=5 dá circunferência degenerada ponto)

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