Determine an de modo que a equação
sumn=1^infty n an x^n-1+2 sumn=0^infty an x^n=0
seja satisfeita. Tente identificar a função representada pela série sumn=0^infty an x^n.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os coeficientes an de modo que
sumn=1^infty n an x^n-1 ;+; 2 sumn=0^infty an x^n ;=; 0
Isso é equivalente a exigir que a função geradora
y(x)=sumn=0^inftyanx^n
satisfaça uma relação entre y'(x) e y(x).

Passo 2

Calculamos a derivada de y:
y'(x)=sumn=1^inftyn,an,x^n-1
Reindexando essa soma para ter potências x^n começando em n=0, obtemos
y'(x) = sumn=0^infty(n+1),an+1,x^n
Então a equação dada fica
sumn=0^inftyl[(n+1),an+1 + 2,anr]x^n=0

Passo 3

Como essa série é identicamente zero, cada coeficiente deve ser nulo:
(n+1),an+1+2,an=0, n>=0 ;;Longrightarrow;; an+1=-2n+1,an
Aqui a0 fica como parâmetro livre da solução.

Passo 4

Resolvendo a recorrência por indução, vemos que
a1=-2,a0, a2=-22a1=(-2)^22!a0, ldots, an=(-2)^nn!,a0
A hipótese de indução se confirma porque
an+1 =-2n+1an =-2n+1,(-2)^nn!a0 =(-2)^n+1(n+1)!a0

Passo 5

Logo a série geradora é
sumn=0^inftyanx^n = a0sumn=0^infty(-2x)^nn! = a0,e^-2x

Resposta

an=a0(-2)^nn!, sumn=0^inftyanx^n=a0e^-2x

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