Use derivação para encontrar a representação em série de potências para
f(x)=1(1+x)^2 e f(x)=1(1+x)^3
sumn=0^infty(-1)^n(n+1) x^n, 1
sumn=0^infty(-1)^n(n+2)(n+1) x^n, 1

Passo 1

O enunciado pede para obter, via diferenciação da série geométrica, as expansões em série de potências de
f1(x)=1(1+x)^2
e
f2(x)=1(1+x)^3
no intervalo de convergência. Vamos usar que
11+x
já tem a expansão conhecida e depois diferenciar adequadamente.

Passo 2

Começamos lembrando da série geométrica alternada:
11+x ;=;sumn=0^infty(-1)^nx^n, |x|<1

Passo 3

Diferenciando em relação a x temos
ddx11+x ;=; ddxsumn=0^infty(-1)^nx^n ;Longrightarrow; -,1(1+x)^2 ;=; sumn=1^infty(-1)^n,n,x^n-1
Isolando 1(1+x)^2 e reindexando com m=n-1
1(1+x)^2 ;=; summ=0^infty(-1)^m(m+1),x^m, |x|<1

Passo 4

Diferenciamos de novo para obter 1(1+x)^3:
ddx1(1+x)^2 ;=; ddxsumm=0^infty(-1)^m(m+1)x^m ;Longrightarrow; -,2(1+x)^3 ;=; summ=1^infty(-1)^mm(m+1)x^m-1
Isolando 1(1+x)^3 e trocando k=m-1 resulta
1(1+x)^3 ;=; 12summ=1^infty(-1)^m-1m(m+1)x^m-1 ;=; sumk=0^infty(-1)^k(k+1)(k+2)2,x^k, |x|<1

Resposta

boxed1(1+x)^2 =sumn=0^infty(-1)^n(n+1),x^n, |x|<1,
boxed1(1+x)^3 =sumn=0^infty(-1)^n(n+1)(n+2)2,x^n, |x|<1

Exercícios relacionados