Resolva a equação diferencial dada através de uma série de potência em torno do ponto
dado. Encontre a relação de recorrência; encontre também os quatros primeiros termos em cada uma das duas soluções linearmente independentes (a menos que a série termine antes). Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
Passo 1
O enunciado pede a solução em série de potência em torno de
para a EDO
Vamos assumir uma solução do tipo
calcular
e
, e impor que a soma das potências de
seja nula.
Passo 2
Derivando a série,
Substituindo em
e juntando coeficientes de
obtemos
ou seja
Passo 3
Como não há acoplamento entre pares e ímpares, surgem duas constantes livres
e
.
Para obtemos
Para
e para
Passo 4
Usando essas fórmulas, os quatro primeiros termos de cada solução são:
– Solução par (
,
):
– Solução ímpar (
,
):
Passo 5
O termo geral de cada série é, portanto:
Resposta
Relação de recorrência:
Quatro primeiros termos de cada solução linearmente independente:
Termo geral: