Resolva a equação diferencial dada através de uma série de potência em torno do ponto x0 dado. Encontre a relação de recorrência; encontre também os quatros primeiros termos em cada uma das duas soluções linearmente independentes (a menos que a série termine antes). Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
y^prime prime-x y^prime-y=0, x0=0

Passo 1

O enunciado pede a solução em série de potência em torno de x0=0 para a EDO
y'' - x,y' - y = 0
Vamos assumir uma solução do tipo
y(x)=sumn=0^inftyanx^n,
calcular y' e y'', e impor que a soma das potências de x seja nula.

Passo 2

Derivando a série,
y'(x)=sumn=0^infty(n+1)an+1x^n, y''(x)=sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n
Substituindo em y''-x,y'-y=0 e juntando coeficientes de x^n obtemos
(n+2)(n+1)an+2- (n+1)an = 0,
ou seja

Passo 3

an+2=an,n+2,, n>=0
Como não há acoplamento entre pares e ímpares, surgem duas constantes livres a0 e a1.
Para n=2k obtemos
a2k=a02cdot4cdot6cdots(2k) =a02^k,k!,
e para n=2k+1
a2k+1=a13cdot5cdot7cdots(2k+1) =a1(2k+1)!!

Passo 4

Usando essas fórmulas, os quatro primeiros termos de cada solução são:
– Solução par ( a1=0, a0=1):
y1(x)=1 +x^22 +x^48 +x^648 +dots
– Solução ímpar ( a0=0, a1=1):
y2(x)= x +x^33 +x^515 +x^7105 +dots

Passo 5

O termo geral de cada série é, portanto:
a2k=a02^k,k!, a2k+1=a1(2k+1)!!

Resposta

Relação de recorrência:
an+2=ann+2, n>=0
Quatro primeiros termos de cada solução linearmente independente:
y1(x)=1+x^22+x^48+x^648+dots,
y2(x)=x+x^33+x^515+x^7105+dots
Termo geral:
a2k=a02^k,k!, a2k+1=a1(2k+1)!!

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