No sistema usual de coordenadas ortogonais, as equações
e
representam famílias de retas perpendiculares. Existem quatro destas retas que limitam a superfície de um quadrado cujo centro é a origem do sistema e a área é 6 u.a. (unidade de área). O produto dos valores de
e de
, que determinam estas retas, é:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema de coordenadas onde duas famílias de retas, dadas por
e
, são perpendiculares entre si. O objetivo é encontrar o produto dos valores de
e
que definem essas retas, sabendo que elas formam um quadrado com centro na origem e área igual a 6 unidades de área. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, principalmente sobre equações de retas e propriedades de quadrados no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como essas retas formam um quadrado. As equações
e
representam famílias de retas que são diagonais do quadrado. Como o centro do quadrado é a origem, as retas que formam o quadrado serão
,
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o comprimento da diagonal do quadrado. A distância entre as retas
e
é dada por:
De maneira similar, a distância entre as retas
e
também é
.
Passo 4
Como essas duas distâncias representam as diagonais do quadrado e sabemos que as diagonais de um quadrado são iguais, temos que
. Isso implica que
.
Passo 5
Sabendo que as diagonais de um quadrado relacionam-se com o lado
pela fórmula:
E sabemos que a área do quadrado é 6, então:
Agora, substituindo na fórmula da diagonal:
Portanto, a diagonal do quadrado é
.
Passo 6
Como a diagonal é também
(porque
), temos:
Passo 7
Finalmente, como
, o produto
é:
Resposta
O produto dos valores de
e
é
.