No sistema usual de coordenadas ortogonais, as equações x+y=k e x-y=t representam famílias de retas perpendiculares. Existem quatro destas retas que limitam a superfície de um quadrado cujo centro é a origem do sistema e a área é 6 u.a. (unidade de área). O produto dos valores de k e de t, que determinam estas retas, é:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema de coordenadas onde duas famílias de retas, dadas por x + y = k e x - y = t , são perpendiculares entre si. O objetivo é encontrar o produto dos valores de k e t que definem essas retas, sabendo que elas formam um quadrado com centro na origem e área igual a 6 unidades de área. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, principalmente sobre equações de retas e propriedades de quadrados no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como essas retas formam um quadrado. As equações x + y = k e x - y = t representam famílias de retas que são diagonais do quadrado. Como o centro do quadrado é a origem, as retas que formam o quadrado serão x + y = k , x + y = -k , x - y = t e x - y = -t .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o comprimento da diagonal do quadrado. A distância entre as retas x + y = k e x + y = -k é dada por:
Distância = 2kraiz1^2 + 1^2 = 2kraiz2 = raiz2 cdot k â
De maneira similar, a distância entre as retas x - y = t e x - y = -t também é raiz2 cdot t .

Passo 4

Como essas duas distâncias representam as diagonais do quadrado e sabemos que as diagonais de um quadrado são iguais, temos que raiz2 cdot k = raiz2 cdot t . Isso implica que k = t .

Passo 5

Sabendo que as diagonais de um quadrado relacionam-se com o lado L pela fórmula:
Diagonal = L cdot raiz2
E sabemos que a área do quadrado é 6, então:
L^2 = 6 Rightarrow L = raiz6
Agora, substituindo na fórmula da diagonal:
raiz6 cdot raiz2 = raiz12 = 2raiz3
Portanto, a diagonal do quadrado é 2raiz3 .

Passo 6

Como a diagonal é também 2k raiz2 (porque k = t ), temos:
2k raiz2 = 2raiz3 Rightarrow k raiz2 = raiz3 Rightarrow k = raiz3raiz2 = raiz62

Passo 7

Finalmente, como k = t = raiz62 , o produto k cdot t é:
k cdot t = ( raiz62 ) cdot ( raiz62 ) = 64 = 32

Resposta

O produto dos valores de k e t é 32 .

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