Encontre todos os valores de
para os quais todas as soluções de
tendem a zero quando
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de Euler–Cauchy
e pede todos os valores de
tais que todas as soluções tendam a zero quando
.
Conteúdo: equações de Euler, solução do tipo e análise do sinal da parte real dos expoentes para garantir
.
Conteúdo: equações de Euler, solução do tipo
Passo 2
Assumimos uma solução do tipo
Então
Substituindo em
obtém-se a equação característica.
Passo 3
Substituindo na equação diferencial:
divide-se por
(para
) e chegamos a
Ou seja, o polinômio característico é
Passo 4
As raízes são
A condição para que toda solução
tenda a zero em
é que ambas as partes reais satisfaçam
e
.
Passo 5
A soma das raízes é
e a parte real comum (no caso de raízes complexas) é
Para garantir
basta exigir