Encontre todos os valores de alpha para os quais todas as soluções de x^2 y^prime prime+alpha y^prime+(5 / 2) y=0 tendem a zero quando x +infty.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de Euler–Cauchy
x^2y''+alpha,x,y'+52,y=0
e pede todos os valores de alpha tais que todas as soluções tendam a zero quando xto+infty.
Conteúdo: equações de Euler, solução do tipo y=x^m e análise do sinal da parte real dos expoentes para garantir limxtoinftyx^m=0.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo
y(x)=x^m
Então
y'(x)=m,x^m-1, y''(x)=m(m-1),x^m-2
Substituindo em
x^2y''+alpha,x,y'+tfrac52y=0
obtém-se a equação característica.

Passo 3

Substituindo na equação diferencial:
x^2l[m(m-1)x^m-2r] +alpha,xl[m x^m-1r] +tfrac52,x^m=0
divide-se por x^m (para x>0) e chegamos a
m(m-1)+alpha,m+tfrac52=0
Ou seja, o polinômio característico é
m^2+(alpha-1),m+tfrac52=0

Passo 4

As raízes são
m1,2 =1-alphapmraiz(alpha-1)^2-102
A condição para que toda solução y=C1x^m1+C2x^m2 tenda a zero em +infty é que ambas as partes reais satisfaçam Re(m1)<0 e Re(m2)<0.

Passo 5

A soma das raízes é
m1+m2=-(alpha-1),
e a parte real comum (no caso de raízes complexas) é
Re(m1,2)=-alpha-12
Para garantir Re(mi)<0 basta exigir
-alpha-12<0 Long<=ftrightarrow alpha-1>0 Long<=ftrightarrow alpha>1

Resposta

alpha>1

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