Determine
e
de modo que a função
seja diferenciável em
. Nesse caso a equação da reta tangente ao gráfico de
em
é
a.
b.
c.
d.
e.
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos encontrar os valores de
e
para que a função
, definida por partes, seja diferenciável em
. Depois, com esses valores, vamos determinar qual das opções fornece a equação da reta tangente ao gráfico de
em
. Vamos usar conceitos de continuidade e derivabilidade de funções, além de derivadas de funções polinomiais e racionais.
Passo 2
Primeiro, para que a função
seja diferenciável em
, ela precisa ser contínua nesse ponto. Isso significa que o limite de
quando
se aproxima de 3 pela esquerda deve ser igual ao limite quando
se aproxima de 3 pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor de
.
Passo 3
Vamos calcular o limite pela esquerda (
):
Passo 4
Agora, o limite pela direita (
):
Assim, para continuidade em
:
Passo 5
Agora, para a função ser diferenciável em
, as derivadas pela esquerda e pela direita devem ser iguais nesse ponto.
Primeiro, a derivada para
:
Então,
.
Passo 6
A derivada para
:
Calculando em
:
Para diferenciabilidade:
Passo 7
Substituindo
na equação da continuidade:
Passo 8
Agora que temos
e
, vamos encontrar a equação da reta tangente em
.
Primeiro, encontramos
:
Como
, usamos
:
Passo 9
A derivada de
é:
Então, a inclinação da reta tangente é 7.
Passo 10
Usamos a equação da reta tangente:
Onde
,
e
:
Resposta
A equação da reta tangente é
. Alternativa e.