Determine c e d de modo que a função f(x)=llc x+d & x<3 x^2-9x & x >= 3 seja diferenciável em x=3. Nesse caso a equação da reta tangente ao gráfico de f em x=-1 é
a. y=5 x-15
b. y=7 x-14
c. y=7 x-18
d. y=6 x-15
e. y=7 x-15

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos encontrar os valores de c e d para que a função f(x) , definida por partes, seja diferenciável em x = 3 . Depois, com esses valores, vamos determinar qual das opções fornece a equação da reta tangente ao gráfico de f em x = -1 . Vamos usar conceitos de continuidade e derivabilidade de funções, além de derivadas de funções polinomiais e racionais.

Passo 2

Primeiro, para que a função f(x) seja diferenciável em x = 3 , ela precisa ser contínua nesse ponto. Isso significa que o limite de f(x) quando x se aproxima de 3 pela esquerda deve ser igual ao limite quando x se aproxima de 3 pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor de f(3) .

Passo 3

Vamos calcular o limite pela esquerda ( x < 3 ):
limx to 3^- f(x) = limx to 3^- (c x + d) = 3c + d

Passo 4

Agora, o limite pela direita ( x >= 3 ):
limx to 3^+ f(x) = limx to 3^+ ( x^2 - 9x ) = 9 - 3 = 6
Assim, para continuidade em x = 3 :
3c + d = 6

Passo 5

Agora, para a função ser diferenciável em x = 3 , as derivadas pela esquerda e pela direita devem ser iguais nesse ponto.
Primeiro, a derivada para x < 3 :
f'(x) = c
Então, f'(3^-) = c .

Passo 6

A derivada para x >= 3 :
f'(x) = 2x + 9x^2
Calculando em x = 3 :
f'(3^+) = 2 times 3 + 99 = 6 + 1 = 7
Para diferenciabilidade:
c = 7

Passo 7

Substituindo c = 7 na equação da continuidade:
3 times 7 + d = 6 21 + d = 6 d = 6 - 21 d = -15

Passo 8

Agora que temos c = 7 e d = -15 , vamos encontrar a equação da reta tangente em x = -1 .
Primeiro, encontramos f(-1) :
Como -1 < 3 , usamos f(x) = 7x - 15 :
f(-1) = 7 times (-1) - 15 = -7 - 15 = -22

Passo 9

A derivada de f(x) = 7x - 15 é:
f'(x) = 7
Então, a inclinação da reta tangente é 7.

Passo 10

Usamos a equação da reta tangente:
y = f'(-1)(x - a) + f(a)
Onde a = -1 , f(a) = -22 e f'(-1) = 7 :
y = 7(x - (-1)) + (-22) y = 7(x + 1) - 22 y = 7x + 7 - 22 y = 7x - 15

Resposta

A equação da reta tangente é y = 7x - 15 . Alternativa e.

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