Sendo h uma função real diferenciável tal que h(4)=4 e h^prime(4)=3, calcule a derivada da função f(x)=(x^2+x) h(x)x h(x)+3 no ponto x=4.
O. 4316
Ob. 544361
○. 43349
O d. 424361
○. 6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função f(x) = (x^2 + x) h(x)x h(x) + 3 no ponto x = 4 . Isso está dentro do cálculo diferencial, especificamente usando a regra do quociente para derivar funções. Vamos precisar saber o valor de h(4) e h'(4) , que são dados como 4 e 3, respectivamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como aplicar a regra do quociente. Se você tem uma função que é uma fração, tipo u(x)v(x) , a derivada dessa função é dada por:
f'(x) = u'(x)v(x) - u(x)v'(x)[v(x)]^2
Ou seja, a gente precisa derivar o numerador u(x) e o denominador v(x) separadamente.

Passo 3

No nosso caso, temos:
u(x) = (x^2 + x) h(x)
v(x) = x h(x) + 3
Vamos derivar cada parte usando a regra do produto, porque temos produtos de funções aqui.

Passo 4

Vamos começar derivando u(x) = (x^2 + x) h(x) . Usando a regra do produto:
u'(x) = (x^2 + x)' cdot h(x) + (x^2 + x) cdot h'(x)
Calculando as derivadas:
(x^2 + x)' = 2x + 1
Então:
u'(x) = (2x + 1) h(x) + (x^2 + x) h'(x)

Passo 5

Agora, vamos derivar v(x) = x h(x) + 3 . Novamente, usamos a regra do produto:
v'(x) = (x)' cdot h(x) + x cdot h'(x)
Calculando as derivadas:
(x)' = 1
Então:
v'(x) = h(x) + x h'(x)

Passo 6

Com as derivadas de u(x) e v(x) em mãos, vamos aplicar a regra do quociente:
f'(x) = u'(x) v(x) - u(x) v'(x)[v(x)]^2
Substituindo as expressões que achamos:
f'(x) = [(2x + 1) h(x) + (x^2 + x) h'(x)] (x h(x) + 3) - (x^2 + x) h(x) [h(x) + x h'(x)](x h(x) + 3)^2

Passo 7

Agora, vamos substituir x = 4 , h(4) = 4 e h'(4) = 3 na expressão de f'(x) :
Primeiro, calculamos cada parte:
(2 cdot 4 + 1) h(4) = (8 + 1) cdot 4 = 36
(x^2 + x) h'(x) em x=4: (16 + 4) cdot 3 = 60
x h(x) + 3 em x=4: 4 cdot 4 + 3 = 19
(x^2 + x) h(x) em x=4: 20 cdot 4 = 80
h(x) + x h'(x) em x=4: 4 + 12 = 16

Passo 8

Substituindo na expressão de f'(4) :
f'(4) = (36 + 60) cdot 19 - 80 cdot 1619^2 = 96 cdot 19 - 1280361 = 1824 - 1280361 = 544361

Resposta

b. 544361

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