Determine a, b e c de modo que a matriz (ccc1 & 0 & 0 0 & 1raiz2 & 1raiz2 a & b & c) seja ortogonal.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos os valores de a, b e c tais que a matriz
Q = 1 & 0 & 0 0 & tfrac1raiz2 & tfrac1raiz2 a & b & c
seja ortogonal. Isso significa que as linhas de Q devem formar um conjunto ortonormal em R^3: cada linha tem norma 1 e linhas diferentes são ortogonais entre si.

Passo 2

Primeiro garantimos que a terceira linha (a,b,c) seja ortogonal à primeira linha (1,0,0). O produto escalar é
( a,b,c )cdot(1,0,0)=acdot1 + bcdot0 + ccdot0 = a
Para ser zero, precisamos de
a = 0

Passo 3

Agora impomos que (a,b,c) seja ortogonal também à segunda linha l(0,tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r). O produto escalar é
0cdot a + tfrac1raiz2,b + tfrac1raiz2,c = b+craiz2
Para anular, precisamos de
b + c = 0 Longrightarrow c = -,b

Passo 4

Por fim, a terceira linha deve ter norma 1:
| (a,b,c)|^2 = a^2 + b^2 + c^2 = 0^2 + b^2 + (-b)^2 = 2,b^2 = 1 ;Longrightarrow; b^2 = tfrac12 ;Longrightarrow; b = pm tfrac1raiz2,
e então
c = -,b = mp tfrac1raiz2

Resposta

a = 0, b = pm 1raiz2, c = mp 1raiz2

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