Toda matriz ortogonal é também uma matriz normal ? Justifique.

Passo 1

O enunciado pergunta se toda matriz ortogonal é também uma matriz normal. Para resolver, precisamos lembrar as definições de matriz ortogonal e de matriz normal.

Passo 2

Definição de matriz ortogonal: uma matriz AinR^ntimes n é ortogonal se
A^T A = In

Passo 3

Definição de matriz normal: uma matriz AinR^ntimes n é normal se
A^T A = A,A^T

Passo 4

Partindo de A^T A = In, tome transposta de ambos os lados e use (A^T A)^T = A^T^T A^T = A,A^T. Assim,
A,A^T = In^T = In

Passo 5

Como obtivemos
A^T A = In e A,A^T = In,
segue
A^T A = A,A^T,
logo A satisfaz a condição de normalidade.

Resposta

Sim. Toda matriz ortogonal A satisfaz A^T A = I = A,A^T, o que implica A^T A = A,A^T, ou seja, A é normal.

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