Sejam A, B, C e X matrizes quadradas de mesma ordem e invertíveis. Resolva as equações, considerando X a variável.
a) A cdot B cdot X=C
b) C cdot A cdot X^t=C
c) A cdot X^2 cdot C=A cdot X cdot B cdot C
d) A cdot B^-1 cdot X=C cdot A
e) A^2 cdot X^prime=A cdot B cdot A

Passo 1

O enunciado dá quatro matrizes invertíveis A, B, C e X de mesma ordem e pede para isolar X em cada uma das equações, usando propriedades de matrizes invertíveis (inversão, transposição e fatoração).

Passo 2

Resolvendo a)
A,B,X = C.
Multiplicamos à esquerda por (AB)^-1=B^-1A^-1, obtendo
X = (AB)^-1,C = B^-1A^-1C

Passo 3

Resolvendo b)
C,A,X^t = C.
Multiplicamos à esquerda por C^-1:
A,X^t = I
Em seguida multiplicamos por A^-1 à esquerda:
X^t = A^-1,
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X = (A^-1)^t

Passo 4

Resolvendo c)
A,X^2,C = A,X,B,C.
Multiplicamos por A^-1 à esquerda e por C^-1 à direita:
X^2 = X,B
Como X é invertível, multiplicamos por X^-1 à esquerda:
X = B

Passo 5

Resolvendo d)
A,B^-1,X = C,A.
Multiplicamos à esquerda por (A,B^-1)^-1 = B,A^-1:
X = B,A^-1,C,A

Passo 6

Resolvendo e)
A^2,X' = A,B,A, em que X' é a transposta de X.
Multiplicamos por (A^2)^-1=A^-2 à esquerda:
X' = A^-2,A,B,A = A^-1,B,A
Tomando transposta em ambos os lados e usando (MN)^t=N^tM^t e (M^-1)^t=(M^t)^-1, ficamos com
X = (A^-1BA)^t = A^tB^t(A^t)^-1

Resposta

a) X = B^-1A^-1C
b) X = (A^-1)^t
c) X = B
d) X = B,A^-1,C,A
e) X = (A^-1BA)^t = A^tB^t(A^t)^-1

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