Determine p de modo que as retas r:-2 x+(p-7) y+3=0 e s: p x+y-13=0 sejam perpendiculares.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor de p de modo que as retas
r: -2x+(p-7)y+3=0
e
s: p x+y-13=0
sejam perpendiculares.
Conteúdo: geometria analítica de retas, usando a relação entre coeficientes angulares (declividades) de retas perpendiculares, que é m1cdot m2=-1.

Passo 2

Vamos calcular o coeficiente angular de cada reta. Numa reta ax+by+c=0, o coeficiente angular é
m=-ab
Para r:
mr = --2p-7 = 2p-7
Para s:
ms = -p1 = -p

Passo 3

Como as retas são perpendiculares, vale
mr ,ms = -1
Substituindo:
2p-7cdot(-p) = -1 Longrightarrow -2pp-7 = -1
Multiplicando ambos os lados por p-7 e simplificando:
-2p = -(p-7) Longrightarrow -2p = -p + 7 Longrightarrow -p = 7 Longrightarrow p = -7
Verificamos que pneq7 para não zerar o denominador, então p=-7 é solução válida.

Resposta

p=-7

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