Determine a posição relativa entre as seguintes retas:
x+2 y+3=0 e 3 x+6 y+1;

Passo 1

O enunciado dá duas retas
L1: x + 2y + 3 = 0
L2: 3x + 6y + 1 = 0
e pede a posição relativa entre elas. Vamos usar a teoria de que duas retas são paralelas (ou coincidentes) quando seus coeficientes de x e y são proporcionais.

Passo 2

Extraímos os coeficientes de cada reta:
para L1 temos a1=1, b1=2, c1=3;
para L2 temos a2=3, b2=6, c2=1.
Duas retas são paralelas ou coincidentes se
a2a1 ;=;b2b1

Passo 3

Calculamos as razões:
a2a1 = 31 = 3, b2b1 = 62 = 3
Como ambas valem 3, concluímos que ou as retas são paralelas ou coincidentes.

Passo 4

Para distinguir paralelas de coincidentes, comparamos também os termos independentes: se fossem coincidentes teríamos
c2c1 = 13
deveria ser igual a 3, mas tfrac13neq 3. Logo, não são coincidentes.

Resposta

As retas são paralelas e distintas.

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