Determine se as retas de equações x+2 y+3=0 e 2 x+3 y+4=0 são ou não concorrentes.

Passo 1

O enunciado dá duas retas no plano,
L1: x + 2y + 3 = 0
L2: 2x + 3y + 4 = 0
e pede para decidir se elas são concorrentes (isto é, se se intersectam num ponto único). Vamos usar geometria analítica: comparar coeficientes angulares e, se necessário, resolver o sistema linear dado pelas duas equações.

Passo 2

Colocamos cada reta na forma reduzida y = mx + b para identificar o coeficiente angular m.
Para L1:
x + 2y + 3 = 0 ;Longrightarrow; 2y = -x - 3 ;Longrightarrow; y = -tfrac12x - tfrac32
Logo o coeficiente angular é m1 = -tfrac12.
Para L2:
2x + 3y + 4 = 0 ;Longrightarrow; 3y = -2x - 4 ;Longrightarrow; y = -tfrac23x - tfrac43
Logo m2 = -tfrac23.

Passo 3

Como m1 = -tfrac12 neq -tfrac23 = m2, as retas não são paralelas e portanto têm interseção única; isto mostra que elas são concorrentes.

Passo 4

Para encontrar o ponto de interseção, resolvemos o sistema
x + 2y + 3 = 0, 2x + 3y + 4 = 0
Da primeira equação x = -2y - 3. Substituindo na segunda:
2(-2y - 3) + 3y + 4 = 0 ;Longrightarrow; -4y - 6 + 3y + 4 = 0 ;Longrightarrow; -y - 2 = 0 ;Longrightarrow; y = -2
Então x = -2(-2) - 3 = 4 - 3 = 1. O ponto de interseção é (1,-2).

Resposta

As retas são concorrentes e intersectam-se no ponto (1,-2).

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