b) Determine a de modo que x=-3 seja um ponto de mínimo local de fa.
c) Mostre que fa não tem ponto de máximo local para todo a in R.
5. Dado a>0, seja fa:] 0,+infty[ R dada por fa(x)=5 x^2+ax^5. Determine o menor valor de a para o qual tem-se fa(x) >= 28 para todo x>0.

Passo 1

O enunciado pede em (b) e (c) propriedades de mínimo e máximo local de uma função fa, mas a definição de fa nessas partes não foi fornecida, logo não há como resolver (b) e (c).
Na questão 5, entretanto, a função está bem dada:
fa(x)=5x^2+ax^5, x>0,;a>0
e precisamos determinar o menor valor de a tal que
fa(x)>=28para todo x>0
Aplicaremos cálculo de derivadas para achar o ponto de mínimo e, em seguida, impor que esse valor mínimo seja ao menos 28.

Passo 2

Calcule a derivada de fa e encontre os pontos críticos:
fa'(x) =ddxl(5x^2+a,x^-5r) =10x-5a,x^-6
Para ponto crítico, fa'(x)=0 implica
10x-5a,x^-6=0 ;Longrightarrow; 10x=5ax^6 ;Longrightarrow; 10x^7=5a ;Longrightarrow; x^7=a2 ;Longrightarrow; x=l(tfraca2r)^1/7

Passo 3

Verifique que é mínimo local fazendo o teste da segunda derivada:
fa''(x) =ddxl(10x-5a,x^-6r) =10+30a,x^-7>0 forall x>0,
logo o ponto crítico é de mínimo global em (0,infty). O valor mínimo é
fmin =fal((tfraca2)^1/7r) =5l(tfraca2r)^2/7 +;al(tfraca2r)^-5/7

Passo 4

Simplifique fmin:
5l(tfraca2r)^2/7 +;al(tfraca2r)^-5/7 =5,a^2/72^-2/7+a,a^-5/72^5/7 =l(5cdot2^-2/7+2^5/7r)a^2/7
Observe que 2^5/7=2cdot2^-2/7, então
5cdot2^-2/7+2^5/7 =5cdot2^-2/7+2cdot2^-2/7 =7cdot2^-2/7
e
fmin =72^2/7,a^2/7
Para garantir fmin>=28, impomos
72^2/7,a^2/7>=28 ;Longrightarrow; a^2/7>=28,2^2/77 =4,2^2/7 ;Longrightarrow; a>=l(4,2^2/7r)^7/2
Como 4^7/2=2^7, tem-se
l(4,2^2/7r)^7/2 =4^7/2cdotl(2^2/7r)^7/2 =2^7cdot2^1 =2^8 =256

Resposta

O menor valor de a que garante fa(x)>=28 para todo x>0 é
boxed256

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